Calcul littéral et identités : exercices de maths 2de à télécharger en PDF

1 Réduire des expressions ★★★

Réduis : \(A = 3x + 5 - x + 2\) ; \(B = 4x^2 - 7x + x^2 + 2x\) ; \(C = 2(3x - 4) + 5x\).

2 Distributivité simple ★★★

Développe : \(4(2x - 5)\) ; \(-3(x + 6)\) ; \(x(x - 7)\) ; \(-2x(3x - 1)\).

3 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque égalité est vraie pour tout \(x\). Si elle est fausse, donne une valeur de \(x\) qui le prouve.

1. \(2(x + 3) = 2x + 6\)
2. \((x + 4)^2 = x^2 + 16\)
3. \((x - 2)(x + 2) = x^2 - 4\)
4. \(3x + 5x = 8x^2\)

4 Double distributivité ★★★

Développe et réduis : \((x + 3)(x + 5)\) ; \((x - 2)(x + 6)\) ; \((2x + 1)(x - 3)\).

5 Identités directes ★★★

Développe avec une identité remarquable : \((x + 7)^2\) ; \((x - 5)^2\) ; \((x - 6)(x + 6)\).

6 Facteur commun ★★★

Factorise : \(6x + 9\) ; \(x^2 - 5x\) ; \(12x^2 + 8x\).

7 Aire et périmètre ★★★

Un rectangle de la salle de jeux a pour côtés \(x + 4\) et \(x + 1\) (en mètres).

1. Exprime son aire sous forme développée et réduite.
2. Exprime son périmètre sous forme réduite.
3. Vérifie les deux formules pour \(x = 6\).

8 Identités avec coefficients ★★★

Développe : \((3x - 4)^2\) ; \((2x + 5)(2x - 5)\) ; \((-x + 3)^2\) ; \((5x + 1)^2\).

9 Développer puis réduire ★★★

Montre que, pour tout réel \(x\), \((x + 2)^2 - (x - 1)(x + 3) = 2x + 7\).

10 Développer puis factoriser ★★★

Soit \(B = 3(x - 2)^2 - 12\).

1. Développe et réduis \(B\).
2. Factorise \(B\).

11 Reconnaître une identité ★★★

Factorise : \(x^2 + 12x + 36\) ; \(49 - x^2\) ; \(4x^2 - 20x + 25\).

12 Facteurs en parenthèses ★★★

Factorise : \(C = (2x + 1)(x - 3) + (2x + 1)(4x + 5)\) et \(D = (x - 5)^2 - 9\).

13 Calcul mental malin ★★★

Sans calculatrice, calcule en utilisant une identité remarquable : \(51^2\) ; \(49^2\) ; \(63 \times 57\) ; \(102^2\).

14 Le potager qui s’agrandit ★★★

Un potager carré a pour côté \(x\) mètres. On l’agrandit en ajoutant \(3\) m sur deux côtés voisins (voir figure).

1. Montre que l’aire gagnée vaut \(6x + 9\) m².
2. Pour \(x = 7\), quelle est l’aire gagnée ?
3. Pour quelle valeur de \(x\) gagne-t-on \(63\) m² ?

15 Deux fractions ★★★

Pour \(x \neq 0\) et \(x \neq -1\), écris \(\dfrac{2}{x} + \dfrac{3}{x + 1}\) sous la forme d’une seule fraction.

16 Une différence de fractions ★★★

Pour \(x \neq 2\) et \(x \neq -2\), montre que \(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{4}{x^2 - 4}\).

17 Simplifier une fraction ★★★

Pour \(x \neq 2\) et \(x \neq -2\), simplifie \(\dfrac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 4}\).

18 Trois formes pour g ★★★

On considère \(g(x) = x^2 - 8x + 7\), dont la courbe est tracée ci-dessous.

1. Montre que \(g(x) = (x - 4)^2 - 9\).
2. Factorise \(g(x)\) puis résous \(g(x) = 0\).
3. Quel est le minimum de \(g\) et pour quelle valeur de \(x\) est-il atteint ?

19 Choisir la bonne forme ★★★

Soit \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\). On donne trois écritures : (A) \((x - 3)^2 - 4\) ; (B) \(x^2 - 6x + 5\) ; (C) \((x - 1)(x - 5)\).

1. Prouve que ces trois écritures sont égales.
2. Pour chaque question, choisis l’écriture la plus adaptée et réponds : calculer \(f(0)\) ; résoudre \(f(x) = 0\) ; calculer \(f(3)\).

20 L’enclos ★★★

Un éleveur dispose de \(40\) m de clôture pour border un enclos rectangulaire. Un côté mesure \(x\) mètres.

1. Exprime l’autre côté puis l’aire \(\mathcal{A}(x)\) en fonction de \(x\).
2. Montre que \(\mathcal{A}(x) = 100 - (x - 10)^2\).
3. En déduire la forme et les dimensions de l’enclos d’aire maximale.

21 Une différence de carrés consécutifs ★★★

Soit \(n\) un entier relatif.

1. Montre que \((n + 1)^2 - (n - 1)^2 = 4n\).
2. Utilise ce résultat pour calculer \(26^2 - 24^2\) sans calculatrice.