Nombres et ensembles de nombres : exercices de maths 2de à télécharger en PDF

1 À quels ensembles appartient-il ? ★★★

Pour chacun des nombres suivants, indique tous les ensembles parmi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\), \(\mathbb{D}\), \(\mathbb{Q}\), \(\mathbb{R}\) auxquels il appartient.

a) \(-7\)   b) \(0{,}125\)   c) \(\dfrac{4}{3}\)   d) \(\sqrt{49}\)   e) \(\pi\)

2 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifie en une phrase.

a) Tout entier naturel est un nombre décimal.   b) \(\dfrac{1}{3}\) est un nombre décimal.   c) \(\mathbb{Z} \subset \mathbb{N}\).   d) \(0{,}333\) est un nombre rationnel.   e) \(\sqrt{2} \in \mathbb{Q}\).

3 Inégalités et intervalles ★★★

Écris chaque condition sous la forme d’un intervalle.

a) \(-2 \le x < 5\)   b) \(x > 3\)   c) \(x \le -1\)   d) \(0 < x \le 4\)

4 Lire un intervalle sur une droite ★★★

Sur la droite graduée ci-dessous, la partie colorée va du point A au point B, extrémités comprises.

a) Donne les abscisses de A et de B. b) Écris l’intervalle coloré. c) Les nombres \(-1{,}5\), \(2\) et \(2{,}1\) appartiennent-ils à cet intervalle ?

5 Premières valeurs absolues ★★★

Calcule : a) \(|-7|\)   b) \(|4{,}5|\)   c) \(|3 - 8|\)   d) \(|-2| + |5|\)   e) \(-|-6|\)   f) \(|-2{,}5 \times 4|\)

6 Fractions en écriture décimale ★★★

Donne l’écriture décimale de : a) \(\dfrac{3}{4}\)   b) \(\dfrac{7}{8}\)   c) \(\dfrac{9}{20}\)   d) \(\dfrac{5}{16}\). Que peux-tu dire des dénominateurs ?

7 Encadrer et arrondir ★★★

Soit \(x = 7{,}863\). a) Encadre \(x\) entre deux entiers consécutifs, puis à \(10^{-1}\) près, puis à \(10^{-2}\) près. b) Donne l’arrondi de \(x\) à l’unité, au dixième et au centième.

8 Réunion et intersection de trois intervalles ★★★

On pose \(A = [-3\,;\,2]\), \(B = ]0\,;\,5]\) et \(C = ]-\infty\,;\,1[\). Détermine : a) \(A \cap B\)   b) \(A \cup B\)   c) \(A \cap C\)   d) \(B \cap C\)   e) \(A \cup C\).

9 Équations et inéquations avec |x − a| ★★★

Résous dans \(\mathbb{R}\) et écris les solutions avec des intervalles quand c’est possible :

a) \(|x - 3| = 4\)   b) \(|x + 2| \le 3\)   c) \(|x - 1| > 2\)

10 Température du four ★★★

Une recette demande un four à \(180\) °C avec une tolérance de \(5\) °C. Si \(T\) désigne la température du four, la condition s’écrit \(|T - 180| \le 5\).

a) Traduis cette condition par un intervalle. b) Le four affiche \(183\) °C, puis \(176{,}5\) °C, puis \(186\) °C : la tolérance est-elle respectée chaque fois ?

11 Fractions irréductibles et décimaux ★★★

Simplifie chaque fraction, puis dis si elle est décimale (donne alors son écriture décimale).

a) \(\dfrac{126}{210}\)   b) \(\dfrac{91}{156}\)   c) \(\dfrac{87}{120}\)

12 Calculs avec des fractions ★★★

Calcule et donne le résultat sous forme de fraction irréductible :

A = \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{5}{6} - \dfrac{1}{4}\)   B = \(\left(\dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}\right) \div \dfrac{5}{8}\)   C = \(\dfrac{1}{\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}}\)

13 Puissances ★★★

Écris sous la forme la plus simple :

A = \(2^5 \times 2^{-3}\)   B = \(\dfrac{3^4}{3^6}\)   C = \(\dfrac{10^{-2} \times 10^{5}}{10^{-1}}\)   D = \((-2)^3 + (-3)^2\)   E = \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^{-2}\)

14 Encadrer une somme, une différence, un produit ★★★

On sait que \(2{,}3 \le a \le 2{,}4\) et \(1{,}5 \le b \le 1{,}7\). Encadre : a) \(a + b\)   b) \(a - b\)   c) \(a \times b\)   d) \(2a - 3b\).

15 Arrondi, troncature et précision ★★★

On considère \(\dfrac{100}{7} = 14{,}285714\dots\) a) Donne la troncature et l’arrondi au centième. b) Encadre \(\dfrac{100}{7}\) à \(10^{-2}\) près. c) Montre que l’arrondi est une valeur approchée avec une erreur inférieure à \(0{,}005\).

16 Affirmations à examiner ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse. Si elle est fausse, donne un contre-exemple ; si elle est vraie, démontre-la.

a) La somme de deux irrationnels est irrationnelle.   b) Le produit de deux rationnels est rationnel.   c) Entre deux décimaux distincts, il y a toujours un décimal.   d) \(|a + b| = |a| + |b|\) pour tous réels \(a\) et \(b\).

17 Un développement décimal périodique ★★★

a) On pose \(x = 0{,}363636\dots\) Calcule \(100x - x\) et en déduire une fraction égale à \(x\). b) Écris \(2{,}454545\dots\) sous forme d’une fraction irréductible.

18 Un irrationnel, plusieurs irrationnels ★★★

On admet que \(\sqrt{2}\) est irrationnel. Démontre que \(3 + \sqrt{2}\) et \(2\sqrt{2}\) sont irrationnels.

19 Entiers dans une réunion et une intersection ★★★

Soit \(A = [-3\,;\,2[\) et \(B = ]1\,;\,5]\). a) Détermine \(A \cup B\) et \(A \cap B\). b) Liste les entiers relatifs qui appartiennent à \(A \cup B\), puis ceux qui appartiennent à \(A \cap B\).

20 Distance à un point ★★★

Sur la droite graduée, C est le point d’abscisse \(-1{,}5\).

a) Quels réels \(x\) sont à une distance exactement égale à \(2{,}5\) de C ? b) Écris l’ensemble des réels \(x\) tels que \(|x + 1{,}5| \le 2{,}5\). c) Le nombre \(\sqrt{2} - 3\) est-il dans cet ensemble ?

21 Encadrer des racines et des sommes ★★★

Sans calculatrice, a) encadre \(\sqrt{11}\) entre deux entiers consécutifs. b) Montre que \(3{,}3 < \sqrt{11} < 3{,}4\). c) Sachant que \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\) et \(1{,}41 < \sqrt{2} < 1{,}42\), encadre \(\pi + \sqrt{2}\).

22 Sentier de randonnée ★★★

Un randonneur doit parcourir un sentier de \(24\) km. Il en fait les \(\dfrac{2}{5}\) le matin et \(\dfrac{1}{3}\) l’après-midi.

a) Quelle fraction du sentier a-t-il parcourue en tout ? b) Quelle fraction reste-t-il ? c) Combien de kilomètres reste-t-il ? d) La fraction restante est-elle un nombre décimal ? La distance restante l’est-elle ?