Primitives et équations différentielles : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Vérifier une primitive ★★★

\(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(F^{\prime}(x) = 3x^2 - 4 + 0 = 3x^2 - 4 = f(x)\).

Donc \(F\) est bien une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).

2 Primitives d’un polynôme ★★★

On primitive terme à terme : \(6 \times \dfrac{x^3}{3} - 5 \times \dfrac{x^2}{2} + 2x\).

Les primitives sont \(F(x) = 2x^3 - \dfrac{5}{2}x^2 + 2x + c\), avec \(c \in \mathbb{R}\).

3 Avec un inverse ★★★

Une primitive de \(\dfrac{1}{x^2}\) est \(-\dfrac{1}{x}\) et une primitive de \(5\) est \(5x\).

Donc \(F(x) = -\dfrac{3}{x} + 5x\) convient.

4 Exponentielle et sinus ★★★

Une primitive de \(e^{x}\) est \(e^{x}\) et une primitive de \(\sin x\) est \(-\cos x\).

Donc \(F(x) = 5e^{x} - 3\cos x + c\), avec \(c \in \mathbb{R}\).

5 Résoudre y’ = 3y ★★★

L’équation est de la forme \(y^{\prime} = ay\) avec \(a = 3\).

Les solutions sont les fonctions \(y(x) = Ce^{3x}\), avec \(C \in \mathbb{R}\).

6 Une condition initiale ★★★

Les solutions sont \(y(x) = Ce^{-2x}\). La condition \(y(0) = 5\) donne \(Ce^{0} = 5\), donc \(C = 5\).

L’unique solution est \(y(x) = 5e^{-2x}\).

7 Avec un terme constant ★★★

Ici \(a = 2\), \(b = 6\) et \(-\dfrac{b}{a} = -3\). Les solutions sont \(y(x) = Ce^{2x} - 3\).

Avec \(y(0) = 1\) : \(C - 3 = 1\), donc \(C = 4\). La solution cherchée est \(y(x) = 4e^{2x} - 3\).

8 Reconnaître u’uⁿ ★★★

Posons \(u(x) = x^2 + x\), alors \(u^{\prime}(x) = 2x + 1\) et \(f = u^{\prime}u^{3}\).

Une primitive est \(F(x) = \dfrac{(x^2 + x)^4}{4}\).

9 Un quotient ★★★

Posons \(u(x) = x^2 + 1 > 0\), alors \(u^{\prime}(x) = 2x\) et \(f = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{u}\).

Une primitive est \(F(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2 + 1)\).

10 Fonctions de la forme f(ax + b) ★★★

1. \(F(x) = \dfrac{1}{3}e^{3x - 1}\), car la dérivée de \(e^{3x - 1}\) est \(3e^{3x - 1}\).
2. \(G(x) = \dfrac{1}{2}\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\).
3. Avec \(u = 2x + 1\) et \(u^{\prime} = 2\) : \(h = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{u^2}\), donc \(H(x) = -\dfrac{1}{2(2x + 1)}\).

11 Primitive et condition ★★★

Avec \(u(x) = x^2\) et \(u^{\prime}(x) = 2x\), on a \(f = u^{\prime}e^{u}\). Les primitives sont \(F(x) = e^{x^2} + c\).

\(F(0) = e^{0} + c = 1 + c = 3\), donc \(c = 2\). Ainsi \(F(x) = e^{x^2} + 2\).

12 Équation avec condition ★★★

\(a = -0{,}4\), \(b = 2\), donc \(-\dfrac{b}{a} = 5\) et \(y(x) = Ce^{-0{,}4x} + 5\).

\(y(0) = C + 5 = 1\) donne \(C = -4\) : \(y(x) = 5 - 4e^{-0{,}4x}\).

Comme \(-0{,}4 < 0\), \(e^{-0{,}4x} \to 0\), donc \(y(x) \to 5\) : la solution se rapproche de l’équilibre \(5\).

13 Le café qui refroidit ★★★

1. \(T^{\prime} = -0{,}1\,T + 2\), donc \(-\dfrac{b}{a} = 20\) et \(T(t) = Ce^{-0{,}1t} + 20\). Avec \(T(0) = 90\), \(C = 70\) : \(T(t) = 20 + 70e^{-0{,}1t}\).
2. \(T(t) = 50 \iff 70e^{-0{,}1t} = 30 \iff e^{-0{,}1t} = \dfrac{3}{7} \iff t = 10\ln\dfrac{7}{3} \approx 8{,}473\) minutes, soit environ \(8\) min \(28\) s (car \(0{,}473 \times 60 \approx 28\)).

14 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai. Avec \(u = x^2 + 1\), \(\dfrac{u^{\prime}}{u}\) a pour primitive \(\ln u\), et deux primitives diffèrent d’une constante.
2. Faux. La dérivée de \(2e^{2x}\) est \(4e^{2x}\). Une primitive est \(\dfrac{1}{2}e^{2x}\).
3. Vrai. Les solutions sont \(Ce^{-3x}\) et \(e^{-3x} \to 0\).
4. Faux. Les solutions sont \(Ce^{x}\), et \(e^{x} > 0\) : si \(C \neq 0\), elles ne s’annulent jamais.

15 Un logarithme de logarithme ★★★

Posons \(u(x) = \ln x\), qui est strictement positif sur \(]1\,;+\infty[\), avec \(u^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\). Alors \(f = \dfrac{u^{\prime}}{u}\).

Les primitives sont \(F(x) = \ln(\ln x) + c\).

\(F(e) = \ln(\ln e) + c = \ln 1 + c = c = 2\). Donc \(F(x) = \ln(\ln x) + 2\).

16 Une racine au dénominateur ★★★

Avec \(u = x^2 + 1 > 0\) et \(u^{\prime} = 2x\), on a \(f = \dfrac{3}{2}\times\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\). Une primitive de \(\dfrac{u^{\prime}}{\sqrt{u}}\) est \(2\sqrt{u}\), donc \(F(x) = \dfrac{3}{2}\times 2\sqrt{x^2 + 1} = 3\sqrt{x^2 + 1}\).

Vérification : \(F^{\prime}(x) = 3\times\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 1}} = f(x)\).

17 Produit sinus et cosinus ★★★

Posons \(u = \cos x\), \(u^{\prime} = -\sin x\). Alors \(f = -u^{\prime}u^{2}\), qui a pour primitives \(-\dfrac{u^{3}}{3} + c = -\dfrac{\cos^3 x}{3} + c\).

\(F(0) = -\dfrac{1}{3} + c = 0\) donne \(c = \dfrac{1}{3}\). Donc \(F(x) = \dfrac{1 - \cos^3 x}{3}\).

18 Étude d’une solution ★★★

1. \(-\dfrac{b}{a} = 4\), donc \(f(x) = Ce^{2x} + 4\). \(f(0) = C + 4 = 7\) donne \(C = 3\) : \(f(x) = 3e^{2x} + 4\).
2. \(f^{\prime}(x) = 6e^{2x} > 0\) : \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
3. En \(+\infty\), \(e^{2x} \to +\infty\) donc \(f(x) \to +\infty\). En \(-\infty\), \(e^{2x} \to 0\) donc \(f(x) \to 4\) : la droite d’équation \(y = 4\) est asymptote horizontale à la courbe en \(-\infty\).

19 Des bactéries prélevées ★★★

1. \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{150}{0{,}3} = 500\), donc \(P(t) = Ce^{0{,}3t} + 500\). \(P(0) = 800\) donne \(C = 300\) : \(P(t) = 500 + 300e^{0{,}3t}\).
2. \(P^{\prime}(t) = 90e^{0{,}3t} > 0\), donc la population augmente (le seuil critique \(500\) est dépassé dès le départ).
3. \(500 + 300e^{0{,}3t} > 2000 \iff e^{0{,}3t} > 5 \iff t > \dfrac{\ln 5}{0{,}3} \approx 5{,}36\). Le seuil est dépassé après environ \(5{,}36\) h.

20 Un médicament en perfusion ★★★

1. \(-\dfrac{b}{a} = \dfrac{3}{0{,}25} = 12\), donc \(C(t) = Ke^{-0{,}25t} + 12\). \(C(0) = 0\) donne \(K = -12\) : \(C(t) = 12(1 - e^{-0{,}25t})\).
2. \(e^{-0{,}25t} \to 0\) donc \(C(t) \to 12\) mg/L.
3. \(12(1 - e^{-0{,}25t}) = 9 \iff e^{-0{,}25t} = \dfrac{1}{4} \iff t = 4\ln 4 \approx 5{,}55\) h.

21 De la vitesse à la position ★★★

1. \(x\) est la primitive de \(v\) qui vaut \(2\) en \(0\) : \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + c\) avec \(c = 2\), donc \(x(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 2\).
2. \(x(1) = 1 - 6 + 9 + 2 = 6\) m et \(x(3) = 27 - 54 + 27 + 2 = 2\) m.
3. \(3t^2 - 12t + 9 = 3(t - 1)(t - 3) = 0\) pour \(t = 1\) ou \(t = 3\). Le mobile s’arrête et change de sens : il avance jusqu’à \(6\) m, recule jusqu’à \(2\) m, puis repart vers l’avant.

22 Demi-vie d’un échantillon ★★★

1. \(N(t) = 800e^{-\lambda t}\). La demi-vie vérifie \(e^{-12\lambda} = \dfrac{1}{2}\), donc \(\lambda = \dfrac{\ln 2}{12} \approx 0{,}0578\).
2. \(e^{-\lambda t} = e^{-t\ln 2/12} = \left(e^{\ln 2}\right)^{-t/12} = 2^{-t/12}\), donc \(N(t) = 800\times 2^{-t/12}\).
3. \(N(30) = 800\times 2^{-2{,}5} = \dfrac{800}{4\sqrt{2}} \approx 141{,}4\) mg. Ensuite, \(800\times 2^{-t/12} = 100 \iff 2^{-t/12} = \dfrac{1}{8} = 2^{-3} \iff t = 36\). Il faut \(36\) h, soit trois demi-vies, pour atteindre \(100\) mg.