Calcul intégral : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Aires simples ★★★

\(\int_1^5 3\,\mathrm{d}x\) : rectangle de base \(4\) et de hauteur \(3\), donc \(12\) u.a.

\(\int_0^4 x\,\mathrm{d}x\) : triangle de base \(4\) et de hauteur \(4\), donc \(\dfrac{4\times4}{2} = 8\).

\(\int_{-2}^{2} x\,\mathrm{d}x\) : deux triangles de même aire \(2\), l’un au-dessus de l’axe (+2), l’autre au-dessous (−2). La somme vaut \(0\).

2 Primitives usuelles ★★★

\(x^4\) ; \(5x\) ; \(-\dfrac{1}{x}\) ; \(\dfrac{1}{3}\mathrm{e}^{3x}\) ; \(\dfrac{1}{2}\sin(2x)\). On vérifie chaque fois en dérivant : par exemple \(\left(\dfrac{1}{2}\sin(2x)\right)^{\prime} = \cos(2x)\).

3 Trois intégrales de polynômes ★★★

\(A = \Big[x^3\Big]_0^2 = 8\).

\(B = \Big[x^2 - 3x\Big]_1^4 = (16 - 12) - (1 - 3) = 4 + 2 = 6\).

\(C = \Big[\dfrac{x^4}{4}\Big]_0^1 = \dfrac{1}{4}\).

4 Inverse, exponentielle ★★★

\(\Big[-\dfrac{1}{x}\Big]_1^2 = -\dfrac{1}{2} + 1 = \dfrac{1}{2}\).

\(\Big[\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} = 1 - 0 = 1\).

\(\Big[\mathrm{e}^{x}\Big]_0^{\ln 2} = 2 - 1 = 1\).

5 Chasles à compléter ★★★

Chasles : \(\int_1^6 f = 7 + (-2) = 5\).

Bornes échangées : \(\int_6^1 f = -5\) et \(\int_4^1 f = -7\).

6 Linéarité ★★★

\(\int_0^1 (f+g) = 2 + 5 = 7\) ; \(\int_0^1 4f = 4 \times 2 = 8\) ; \(\int_0^1 (3f - g) = 3 \times 2 - 5 = 1\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : c’est la positivité de l’intégrale.
2. Faux : \(\Big[\dfrac{x^2}{2} - x\Big]_0^2 = 2 - 2 = 0\), mais la fonction est négative sur \([0\,;\,1]\) et positive sur \([1\,;\,2]\) : les deux aires (égales à \(\dfrac{1}{2}\)) se compensent. L’aire totale vaut \(1\) u.a.
3. Faux : \(\int_2^0 x\,\mathrm{d}x = -\int_0^2 x\,\mathrm{d}x = -2\).

8 Trigonométrie et exponentielle ★★★

\(A = \Big[-\cos x\Big]_0^{\pi} = 1 + 1 = 2\).

\(B = \Big[\dfrac{\sin(2x)}{2}\Big]_0^{\pi/2} = \dfrac{\sin\pi - \sin 0}{2} = 0\).

\(C = \Big[\dfrac{\mathrm{e}^{2x}}{2}\Big]_0^1 = \dfrac{\mathrm{e}^2 - 1}{2} \approx 3{,}19\).

9 Reconnaître une dérivée composée ★★★

Première intégrale : \(2x(x^2+1)^3 = u^{\prime}u^3\) avec \(u = x^2 + 1\), de primitive \(\dfrac{u^4}{4}\). Donc \(\Big[\dfrac{(x^2+1)^4}{4}\Big]_0^1 = \dfrac{16 - 1}{4} = \dfrac{15}{4}\).

Seconde : \(\dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{1}{2}\times\dfrac{2x}{x^2+1}\), de primitive \(\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)\). Donc \(\dfrac{1}{2}(\ln 2 - \ln 1) = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0{,}35\).

10 Une serre à rénover ★★★

\(f\) est positive : \(\mathcal{A} = \int_0^3 (x^2 + 1)\,\mathrm{d}x = \Big[\dfrac{x^3}{3} + x\Big]_0^3 = 9 + 3 = 12\) u.a.

Une u.a. vaut \(2 \times 1{,}5 = 3\) m², donc l’aire est \(12 \times 3 = 36\) m².

11 Aire sous l’axe ★★★

\(\int_{-2}^{2}(x^2 - 4)\,\mathrm{d}x = \Big[\dfrac{x^3}{3} - 4x\Big]_{-2}^{2} = \left(\dfrac{8}{3} - 8\right) - \left(-\dfrac{8}{3} + 8\right) = \dfrac{16}{3} - 16 = -\dfrac{32}{3}\).

Sur \([-2\,;\,2]\), \(x^2 \leqslant 4\), donc \(f \leqslant 0\). L’aire est \(-\int_{-2}^{2} f = \dfrac{32}{3}\) u.a.

12 Vitesse moyenne ★★★

\(\int_1^3 (3t^2 + 2)\,\mathrm{d}t = \Big[t^3 + 2t\Big]_1^3 = (27 + 6) - (1 + 2) = 30\).

La distance parcourue est \(30\) m, et la vitesse moyenne est \(\mu = \dfrac{30}{3 - 1} = 15\) m/s.

13 Encadrer sans calculer ★★★

Pour \(x \in [0\,;\,1]\), \(1 + x \geqslant 1\), donc \(0 \leqslant \dfrac{x^3}{1+x} \leqslant x^3\).

Par croissance de l’intégrale (bornes \(0 \leqslant 1\)) : \(0 \leqslant J \leqslant \int_0^1 x^3\,\mathrm{d}x = \dfrac{1}{4}\).

14 Première intégration par parties ★★★

On pose \(u^{\prime}(x) = \mathrm{e}^{x}\), \(v(x) = x + 1\) : \(u(x) = \mathrm{e}^{x}\), \(v^{\prime}(x) = 1\).

\(K = \Big[(x+1)\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 - \int_0^1 \mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = (2\mathrm{e} - 1) - (\mathrm{e} - 1) = \mathrm{e}\).

15 Droite et parabole ★★★

\(g(x) - f(x) = 2x - x^2 = x(2 - x) \geqslant 0\) sur \([0\,;\,2]\) : la droite est au-dessus de la parabole.

\(\mathcal{A} = \int_0^2 (2x - x^2)\,\mathrm{d}x = \Big[x^2 - \dfrac{x^3}{3}\Big]_0^2 = 4 - \dfrac{8}{3} = \dfrac{4}{3}\) u.a.

16 Logarithme par parties ★★★

On pose \(u^{\prime}(x) = x\), \(v(x) = \ln x\) : \(u(x) = \dfrac{x^2}{2}\), \(v^{\prime}(x) = \dfrac{1}{x}\).

\(L = \Big[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^{\mathrm{e}} - \int_1^{\mathrm{e}} \dfrac{x}{2}\,\mathrm{d}x = \dfrac{\mathrm{e}^2}{2} - \Big[\dfrac{x^2}{4}\Big]_1^{\mathrm{e}} = \dfrac{\mathrm{e}^2}{2} - \dfrac{\mathrm{e}^2 - 1}{4} = \dfrac{\mathrm{e}^2 + 1}{4}\approx 2{,}10\).

17 Deux intégrations par parties ★★★

Première fois : \(u^{\prime} = \mathrm{e}^{x}\), \(v = x^2\) : \(M = \Big[x^2\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 - \int_0^1 2x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - 2\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x\).

Seconde fois : \(\int_0^1 x\,\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = 1\) (voir le cours). Donc \(M = \mathrm{e} - 2 \approx 0{,}72\).

18 Une suite d’intégrales ★★★

1. \(I_0 = \Big[\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 = \mathrm{e} - 1\).
2. On pose \(u^{\prime} = \mathrm{e}^{x}\) et \(v = x^{n+1}\) : \(I_{n+1} = \Big[x^{n+1}\mathrm{e}^{x}\Big]_0^1 - (n+1)\int_0^1 x^{n}\mathrm{e}^{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{e} - (n+1)I_n\).
3. \(I_1 = \mathrm{e} - I_0 = 1\) ; \(I_2 = \mathrm{e} - 2I_1 = \mathrm{e} - 2\) ; \(I_3 = \mathrm{e} - 3(\mathrm{e} - 2) = 6 - 2\mathrm{e} \approx 0{,}563\).
4. Sur \([0\,;\,1]\), \(x^n\mathrm{e}^{x} \geqslant 0\), donc par positivité \(I_n \geqslant 0\).

19 Courbes qui se croisent ★★★

\(g(x) - f(x) = x - x^3 = x(1-x)(1+x)\). Sur \([0\,;\,1]\) ce nombre est positif ; sur \([-1\,;\,0]\) il est négatif. Les courbes se coupent en \(-1\), \(0\), \(1\).

Par imparité de \(x - x^3\), les deux morceaux ont la même aire : \(\mathcal{A} = 2\int_0^1 (x - x^3)\,\mathrm{d}x = 2\Big[\dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{4}\Big]_0^1 = 2 \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}\) u.a.

20 Concentration moyenne ★★★

Une primitive de \(C\) est \(-8\,\mathrm{e}^{-t/2}\). Donc \(\int_0^2 C(t)\,\mathrm{d}t = \Big[-8\mathrm{e}^{-t/2}\Big]_0^2 = 8 - 8\mathrm{e}^{-1}\).

La valeur moyenne est \(\mu = \dfrac{1}{2}(8 - 8\mathrm{e}^{-1}) = 4 - 4\mathrm{e}^{-1} \approx 2{,}53\) mg/L.

21 Une primitive définie par une intégrale ★★★

1. \(F(1) = 0\), et \(F\) est la primitive de \(\ln\) qui s’annule en \(1\), donc \(F^{\prime}(x) = \ln x\).
2. Avec \(u(t) = t\) et \(v(t) = \ln t\) : \(F(x) = \Big[t\ln t\Big]_1^x - \int_1^x 1\,\mathrm{d}t = x\ln x - (x - 1) = x\ln x - x + 1\).
3. \(F^{\prime}(x) = \ln x + x \times \dfrac{1}{x} - 1 = \ln x\), et \(F(1) = 0 - 1 + 1 = 0\). Le résultat est cohérent.