Fonction logarithme népérien : corrigé du contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Simplifier des expressions / 3 pts

1. \(A = \ln 225 - \ln 9 - \ln 5 = \ln\dfrac{225}{45} = \ln 5\) (1 pt).
2. \(B = \ln(e^3) + \ln(e^{1/2}) = 3 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\) (1 pt).
3. \(C = \ln\left(8 \times \dfrac{1}{2}\right) = \ln 4 = 2\ln 2\) (1 pt).

2 Une équation / 3 pts

Conditions : \(2x + 1 \gt 0\) et \(x - 1 \gt 0\), donc \(x \gt 1\) (1 pt).

L’équation équivaut à \((2x + 1)(x - 1) = 5\), soit \(2x^2 - x - 6 = 0\), de discriminant \(49\) et de racines \(2\) et \(-\dfrac{3}{2}\) (1 pt).

Seule \(2\) vérifie \(x \gt 1\) : \(S = \{2\}\) (1 pt).

3 Une inéquation / 2 pts

Condition : \(3x - 2 \gt 0\), soit \(x \gt \dfrac{2}{3}\). Alors \(\ln(3x - 2) \lt 1 \iff 3x - 2 \lt e\) (1 pt).

Donc \(S = \left]\dfrac{2}{3}\,;\dfrac{2 + e}{3}\right[\) (1 pt).

4 Étude d’une fonction / 5 pts

1. \(f'(x) = 1 - \dfrac{2}{x} = \dfrac{x - 2}{x}\) (1 pt).
2. \(f'\) est du signe de \(x - 2\) : \(f\) décroît sur \(]0\,;2]\) et croît sur \([2\,;+\infty[\) (1 pt). En \(0^+\), \(-2\ln x \to +\infty\) donc \(f \to +\infty\) ; en \(+\infty\), \(f(x) = x\left(1 - 2\dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\) par croissances comparées (2 pts).
3. Le minimum est \(f(2) = 2 - 2\ln 2 = 2(1 - \ln 2) \gt 0\) puisque \(\ln 2 \lt 1\). Donc \(f(x) \geq f(2) \gt 0\) pour tout \(x\) (1 pt).

5 Dérivée de ln(u) et tangente / 4 pts

1. Le discriminant de \(x^2 + 2x + 2\) vaut \(4 - 8 = -4 \lt 0\) et le coefficient dominant est positif : le trinôme est strictement positif, donc \(D_g = \mathbb{R}\) (1 pt).
2. \(g'(x) = \dfrac{2x + 2}{x^2 + 2x + 2}\), du signe de \(x + 1\) (1 pt) : \(g\) décroît sur \(]-\infty\,;-1]\), croît sur \([-1\,;+\infty[\), avec le minimum \(g(-1) = \ln 1 = 0\) (1 pt).
3. \(g(0) = \ln 2\) et \(g'(0) = \dfrac{2}{2} = 1\), donc \(y = x + \ln 2\) (1 pt).

6 Un capital qui grandit / 3 pts

(a) Le coefficient multiplicateur annuel est \(1{,}025\) : \(C_n = 1\,000 \times 1{,}025^n\) (1 pt).

(b) \(1\,000 \times 1{,}025^n \gt 1\,500 \iff 1{,}025^n \gt 1{,}5 \iff n \gt \dfrac{\ln 1{,}5}{\ln 1{,}025} \approx 16{,}42\) (1 pt). Il faut donc \(17\) ans (\(C_{16} \approx 1\,484{,}51\) € et \(C_{17} \approx 1\,521{,}62\) €) (1 pt).