Équations différentielles : exercices de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Vérifier une solution ★★★

Montre que \(y(t) = e^{2t} + t\) est solution de \(y' - 2y = 1 - 2t\) sur \(\mathbb{R}\).

2 Équations homogènes ★★★

Résous : a) \(y' = 4y\) avec \(y(0) = 3\) ; b) \(y' + 5y = 0\) avec \(y(1) = 2\).

3 Ordre et linéarité ★★★

Donne l’ordre de chaque équation et dis si elle est linéaire : a) \(y'' - 3y' + y = \cos t\) ; b) \(y' = y^2 - t\) ; c) \(y^{(3)} + 2y = 0\) ; d) \(y\,y' = 1\).

4 Équation caractéristique ★★★

Résous \(y'' - 5y' + 6y = 0\).

5 Oscillateur harmonique ★★★

Résous \(y'' + 9y = 0\) avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 3\).

6 Chercher les équilibres ★★★

Détermine les équilibres de a) \(y' = (y-2)(y+5)\) ; b) \(y' = 3y - y^2\).

7 Vrai ou faux ? ★★★

Justifie. a) La somme de deux solutions de \(y' + 2y = 1\) est solution de cette équation. b) La différence de deux solutions de \(y' + 2y = 1\) est solution de \(y' + 2y = 0\). c) La fonction nulle est solution de \(y' + 2y = 1\).

8 Retour à l’équilibre ★★★

Dans un bassin, la teneur en sel \(y(t)\) (en g/L, \(t\) en heures) vérifie \(y' + 2y = 4\), avec \(y(0) = 5\). Résous cette équation, puis donne la limite de \(y\) en \(+\infty\).

9 Second membre trigonométrique ★★★

Résous \(y' + y = 2\cos t\) avec \(y(0) = 0\). Pour la solution particulière, cherche \(y_p = \alpha\cos t + \beta\sin t\).

10 Variation de la constante ★★★

Sur \(]0\,;+\infty[\), résous \(y' - \dfrac{2}{t}\,y = t^2\) avec \(y(1) = 3\).

11 Racine double ★★★

Résous \(y'' + 2y' + y = 0\) avec \(y(0) = 2\) et \(y'(0) = 0\).

12 Ressort amorti ★★★

L’élongation d’un ressort vérifie \(y'' + 4y' + 13y = 0\), avec \(y(0) = 1\) et \(y'(0) = 0\). Détermine \(y\), puis explique pourquoi le ressort revient au repos.

13 Une équation à variables séparables ★★★

Résous \(y' = \dfrac{t}{y}\) avec \(y(0) = 2\) et \(y > 0\).

14 Cauchy-Lipschitz s’applique-t-il ? ★★★

Dis si le théorème de Cauchy-Lipschitz s’applique en \((0,0)\) à : a) \(y' = y^2 + t\) ; b) \(y' = \sqrt{|y|}\). Dans le cas b), donne deux solutions de condition initiale \(y(0) = 0\).

15 Exponentielle d’une matrice de rotation ★★★

Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\). Calcule \(A^2\), puis \(e^{tA}\), et résous \(X' = AX\) avec \(X(0) = (1, 2)\).

16 Système diagonalisable ★★★

Résous \(X' = AX\) avec \(A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}\) et \(X(0) = (1, 0)\).

17 Équation d’ordre 2 en système ★★★

On considère \(y'' + 3y' + 2y = 0\). a) Écris-la sous la forme \(X' = AX\) avec \(X = (y, y')\). b) Calcule les valeurs propres de \(A\) et précise la nature de l’origine. c) Que devient \(y(t)\) quand \(t \to +\infty\) ?

18 Population limitée ★★★

Une population de rennes (en milliers) suit \(y' = 2y(3 - y)\), avec \(y(0) = 1\). a) Détermine les équilibres. b) Montre que \(y(t) = \dfrac{3}{1 + 2e^{-6t}}\) est la solution. c) Au bout de combien de temps la population atteint-elle \(2{,}5\) milliers ?

19 Explosion en temps fini ★★★

Résous \(y' = y^2\) avec a) \(y(0) = 1\) ; b) \(y(0) = -1\). Donne dans chaque cas l’intervalle maximal de définition et explique la différence de comportement.

20 Trois équilibres ★★★

Soit \(y' = f(y)\) avec \(f(y) = y(y-2)(5-y)\). a) Trouve les équilibres. b) Étudie la stabilité avec \(f'\). c) Quelle est la limite de la solution pour \(y(0) = 1\), \(y(0) = 3\), \(y(0) = -1\) ?

La droite ci-dessus indique le sens de variation (cyan : \(f > 0\), orange : \(f < 0\)).

21 Nature des équilibres de systèmes plans ★★★

Donne la nature de l’origine pour \(X' = AX\) dans chaque cas, à l’aide de la trace \(T\) et du déterminant \(D\) : a) \(A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) ; b) \(A = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\) ; c) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).