Courbes, surfaces et géométrie euclidienne : corrigé du contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Arc paramétré : parabole / 4 pts

1. \(\gamma(1) = (2,1)\), \(\gamma'(t) = (2, 2t)\) donc \(\gamma'(1) = (2,2)\). Tangente : \(2(y - 1) - 2(x - 2) = 0\), soit \(y = x - 1\). (1 pt)
2. \(\|\gamma'(t)\| = \sqrt{4 + 4t^2} = 2\sqrt{1 + t^2}\). (0,5 pt) Avec l’indication, \(L = \big[t\sqrt{1 + t^2} + \ln(t + \sqrt{1 + t^2})\big]_0^1 = \sqrt2 + \ln(1 + \sqrt2)\). (1,5 pt)
3. \(x' = 2\), \(y' = 2t\), \(x'' = 0\), \(y'' = 2\) : \(x'y'' - y'x'' = 4\). En \(t = 0\), \((x'^2 + y'^2)^{3/2} = 4^{3/2} = 8\), donc \(\kappa = \dfrac12\) (0,5 pt) et \(R = 2\) (0,5 pt).

2 Une ellipse / 4 pts

1. \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{16} = 1\) : \(a = 5\), \(b = 4\) (0,5 pt), \(c = \sqrt{25 - 16} = 3\), foyers \((\pm 3, 0)\) (0,5 pt), \(e = \dfrac35\) (0,5 pt).
2. \(16 \times 9 + 25 \times \tfrac{256}{25} = 144 + 256 = 400\) (0,5 pt). \(MF = \sqrt{0 + \tfrac{256}{25}} = \dfrac{16}{5}\) et \(MF’ = \sqrt{36 + \tfrac{256}{25}} = \dfrac{34}{5}\) (0,5 pt). Somme : \(10 = 2a\) (0,5 pt).
3. \(\dfrac{3x}{25} + \dfrac{(16/5)\,y}{16} = 1\), soit \(\dfrac{3x}{25} + \dfrac{y}{5} = 1\), donc \(3x + 5y = 25\) (1 pt).

3 Une quadrique / 4 pts

1. En divisant par 36 : \(\dfrac{x^2}{4} + \dfrac{y^2}{9} - z^2 = 1\) (1 pt) : hyperboloïde à une nappe d’axe \((Oz)\) (0,5 pt).
2. \(9 \times 4 + 4 \times 9 - 36 = 36\) (0,5 pt). Avec \(F = 9x^2 + 4y^2 - 36z^2 - 36\), \(\nabla F(A) = (36, 24, -72)\), colinéaire à \((3, 2, -6)\) (1 pt). Plan : \(3(x - 2) + 2(y - 3) - 6(z - 1) = 0\), soit \(3x + 2y - 6z = 6\) (0,5 pt).
3. \(d = \dfrac{6}{\sqrt{9 + 4 + 36}} = \dfrac67\) (0,5 pt).

4 Réduction d’une conique / 3 pts

1. \(S = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}\), polynôme caractéristique \((3 - \lambda)^2 - 1\), valeurs propres \(2\) et \(4\) (1 pt). Vecteurs propres orthonormés : \(\tfrac{1}{\sqrt2}(1,-1)\) pour \(2\) et \(\tfrac1{\sqrt2}(1,1)\) pour \(4\) (1 pt).
2. Avec \(u = \tfrac{x+y}{\sqrt2}\) et \(v = \tfrac{x-y}{\sqrt2}\) : \(4u^2 + 2v^2 = 8\), soit \(\dfrac{u^2}{2} + \dfrac{v^2}{4} = 1\) : ellipse (0,5 pt), de demi-axes \(\sqrt2\) dans la direction \((1,1)\) et \(2\) dans la direction \((1,-1)\) (0,5 pt).

5 Une isométrie du plan / 3 pts

1. La partie linéaire est \(U = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\), orthogonale de déterminant \(1\) (1 pt) : \(f\) est un déplacement.
2. Point fixe : \(x = -y + 3\) et \(y = x + 1\), donc \(x = 1\), \(y = 2\). Centre \(\Omega(1,2)\) ; \(\cos\theta = \tfrac12\operatorname{tr} U = 0\) et \(\sin\theta = 1\), donc rotation d’angle \(\dfrac\pi2\) (1 pt).
3. \(f(A) = (-2 + 3,\ 3 + 1) = (1, 4)\) (0,5 pt). \(\Omega A = \sqrt{4 + 0} = 2\) et \(\Omega f(A) = \sqrt{0 + 4} = 2\) (0,5 pt).

6 Orthogonalité dans l’espace / 2 pts

\(2 - 2 - 2 - 3 = -5\) et \(\sqrt{1 + 4 + 4} = 3\) : \(d = \dfrac53\) (1 pt).

Le projeté est \(H = P - \dfrac{n \cdot P - 3}{\|n\|^2}\,n\) avec \(n = (1,-2,2)\), \(n \cdot P - 3 = -5\) : \(H = (2,1,-1) + \dfrac59(1,-2,2) = \Big(\dfrac{23}{9}, -\dfrac19, \dfrac19\Big)\) (0,5 pt). Vérification : \(\dfrac{23 + 2 + 2}{9} = 3\) (0,5 pt).