Courbes, surfaces et géométrie euclidienne : exercices de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Tangente en un point régulier ★★★

Soit \(\gamma(t) = (t^2 - 1,\ t^3 - t)\). Déterminer l’équation de la tangente à la courbe au point de paramètre \(t = 2\).

2 Point stationnaire ★★★

Déterminer les points stationnaires de \(\gamma(t) = (t^3 - 3t,\ t^2 - 2t)\).

3 Longueur d’un arc de cercle ★★★

On considère l’arc \(\gamma(t) = (4\cos t,\ 4\sin t)\) pour \(t \in [0, \pi/3]\). Calculer sa longueur.

4 Éléments d’une ellipse ★★★

Une ellipse a pour équation \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\). Donner ses demi-axes, ses foyers et son excentricité.

5 Foyer et directrice d’une parabole ★★★

Déterminer le foyer et la directrice de la parabole d’équation \(y^2 = 8x\).

6 Distance d’un point à un plan ★★★

Calculer la distance du point \(P(1, -2, 3)\) au plan d’équation \(x + 2y - 2z + 5 = 0\).

7 Orthogonalité de vecteurs ★★★

On donne \(u = (1, 2, -1)\), \(v = (3, -1, 1)\) et \(w_k = (k, 3, 2)\).

1. Montrer que \(u\) et \(v\) sont orthogonaux.
2. Déterminer \(k\) pour que \(w_k\) soit orthogonal à \(u\).

8 Longueur d’une spirale ★★★

Soit \(\gamma(t) = (e^t\cos t,\ e^t\sin t)\). Calculer la longueur de l’arc pour \(t \in [0, 1]\).

9 Courbure d’une chaînette ★★★

Soit la courbe \(y = \cosh x\). Montrer que sa courbure vaut \(\kappa(x) = \dfrac{1}{\cosh^2 x}\), puis donner le rayon de courbure pour \(x = 0\) et \(x = \ln 2\).

10 Somme des distances aux foyers ★★★

Vérifier que le point \(M\big(3, \tfrac{12}{5}\big)\) appartient à l’ellipse \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\), puis calculer \(MF + MF’\) avec \(F(4,0)\) et \(F’(-4,0)\).

11 Tangente à une ellipse ★★★

Déterminer la tangente à l’ellipse \(\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1\) au point \(M\big(3, \tfrac{12}{5}\big)\).

12 Hyperbole, foyers et asymptotes ★★★

Soit l’hyperbole \(\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{5} = 1\).

1. Donner ses foyers, son excentricité et ses asymptotes.
2. Vérifier que \(M(4, \sqrt{15})\) est sur la courbe et que \(|MF - MF’| = 2a\).

13 Reconnaître des quadriques ★★★

Nommer chacune des surfaces suivantes.

1. \(x^2 + y^2 + 4z^2 = 4\)
2. \(x^2 + y^2 - z^2 = 0\)
3. \(z = x^2 - y^2\)
4. \(x^2 + y^2 - z^2 = -1\)

14 Plan tangent à un graphe ★★★

Déterminer le plan tangent à la surface \(z = x^2 + y^2\) au point d’abscisse 1 et d’ordonnée 2.

15 Distance d’un point à une droite ★★★

Dans l’espace, la droite \(\mathcal D\) passe par \(A(1, 0, 2)\) et a pour vecteur directeur \(u = (1, 2, 2)\). Calculer la distance du point \(M(3, 1, 1)\) à \(\mathcal D\).

16 Longueur totale de l’astroïde ★★★

On étudie l’astroïde \(\gamma(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t)\), \(t \in [0, 2\pi]\).

1. Calculer la longueur totale de la courbe.
2. Montrer que la tangente au point de paramètre \(t \in \,]0, \pi/2[\) découpe sur les axes un segment de longueur 1.

17 Courbure d’une ellipse ★★★

Soit l’ellipse \(x = 5\cos t,\ y = 3\sin t\).

1. Montrer que \(\kappa(t) = \dfrac{15}{(25\sin^2 t + 9\cos^2 t)^{3/2}}\).
2. En déduire les rayons de courbure aux sommets \((5,0)\) et \((0,3)\).

18 Réduction d’une quadrique ★★★

Déterminer la nature de la quadrique \(x^2 + y^2 - 2z^2 + 4xy = 6\) et donner son équation réduite.

19 Symétrie glissée ★★★

Soit \(f(x,y) = \Big(\dfrac{3x + 4y}{5} + 3,\ \dfrac{4x - 3y}{5} + 4\Big)\).

1. Montrer que \(f\) est une isométrie et préciser sa nature (déplacement ou antidéplacement).
2. Montrer que \(f\) n’a pas de point fixe et en déduire que c’est une symétrie glissée, non une réflexion.
3. Donner le vecteur de glissement et l’axe de la symétrie glissée.

20 Rotation dans l’espace ★★★

Soit \(f : \mathbb R^3 \to \mathbb R^3\), \(f(x,y,z) = (z, x, y)\).

1. Montrer que \(f\) est une isométrie vectorielle de déterminant 1.
2. Déterminer son axe et son angle.

21 Plan tangent et distance à l’origine ★★★

Soit l’ellipsoïde \(x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6\) et le point \(A(1,1,1)\).

1. Vérifier que \(A\) appartient à la surface et déterminer le plan tangent en \(A\).
2. Calculer la distance de l’origine à ce plan.

22 Nappe paramétrée ★★★

Soit la nappe \(S(u,v) = (u,\ v,\ uv)\). Déterminer un vecteur normal puis le plan tangent au point de paramètres \((1, 2)\). Retrouver le résultat en écrivant la surface comme un graphe.