Réduction des endomorphismes : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

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Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

Soit \(A = \begin{pmatrix}-2 & 3 & 2 \\ -2 & 3 & 2 \\ -3 & 3 & 3\end{pmatrix}\).

Calculer \(\mathrm{tr}(A)\), \(\det(A)\) et la somme des mineurs principaux d’ordre 2, puis en déduire \(\chi_A\) (2 points).
Déterminer les sous-espaces propres de \(A\) (2 points).
Donner \(P\) inversible et \(D\) diagonale telles que \(A = PDP^{-1}\) (1 point).

Soit \(B = \begin{pmatrix}5 & 4 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\).

Calculer \(\chi_B\) et déterminer \(E_3\) (1 point).
Justifier que \(B\) n’est pas diagonalisable (1 point).
Trouver une base dans laquelle \(B\) est triangulaire supérieure, et donner cette matrice (1 point).
Poser \(N = B - 3I\), calculer \(N^2\) et en déduire \(B^n\) (1 point).

Soit \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) vérifiant \(A^3 = A\).

Quelles sont les valeurs propres possibles de \(A\) ? (1 point)
Montrer que \(A\) est diagonalisable (1 point).
Exprimer \(A^{2k+1}\) et \(A^{2k}\) pour \(k \geq 1\) (1 point).
Pour \(A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\), vérifier \(A^3 = A\), calculer \(\chi_A\) et \(\dim E_1\) (1 point).

Dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, avec une justification courte (1 point chacune).

Soit \(N = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -4 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}\) et \(P = (X-1)(X^2+4)\).

Vérifier que \(P(N) = 0\) (1 point).
Montrer que \(X - 1\) et \(X^2 + 4\) sont premiers entre eux, avec une relation de Bézout (1 point).
En déduire la décomposition de \(\mathbb{R}^3\) en somme directe et identifier les deux sous-espaces (1 point).
\(N\) est-elle diagonalisable dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) ? (1 point)

Entraîne-toi : défi express de Maths Spé