Courbes, surfaces et géométrie euclidienne : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Tangente en un point régulier ★★★

On a \(\gamma(2) = (3, 6)\). La dérivée est \(\gamma'(t) = (2t, 3t^2 - 1)\), donc \(\gamma'(2) = (4, 11) \neq 0\) : le point est régulier.

La tangente est dirigée par \((4, 11)\) : \(11(x - 3) - 4(y - 6) = 0\), soit \(11x - 4y - 9 = 0\).

Vérification : \(11 \times 3 - 4 \times 6 - 9 = 0\).

2 Point stationnaire ★★★

\(x'(t) = 3t^2 - 3 = 3(t-1)(t+1)\) s’annule en \(t = \pm 1\). \(y'(t) = 2t - 2\) s’annule en \(t = 1\) seulement.

Les deux dérivées s’annulent simultanément uniquement pour \(t = 1\). L’unique point stationnaire est \(\gamma(1) = (-2, -1)\).

3 Longueur d’un arc de cercle ★★★

\(\gamma'(t) = (-4\sin t,\ 4\cos t)\) et \(\|\gamma'(t)\| = 4\).

\(L = \displaystyle\int_0^{\pi/3} 4\,dt = \dfrac{4\pi}{3} \approx 4{,}19\).

On retrouve la formule « rayon fois angle » : \(4 \times \pi/3\).

4 Éléments d’une ellipse ★★★

Ici \(a = 5\) et \(b = 3\). On calcule \(c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{16} = 4\).

Les foyers sont \(F(4, 0)\) et \(F’(-4, 0)\), et \(e = c/a = \dfrac45\).

5 Foyer et directrice d’une parabole ★★★

On identifie \(2p = 8\), donc \(p = 4\).

Le foyer est \(F(p/2, 0) = (2, 0)\) et la directrice est la droite \(x = -2\).

6 Distance d’un point à un plan ★★★

Le numérateur vaut \(|1 + 2(-2) - 2(3) + 5| = |1 - 4 - 6 + 5| = 4\). Le dénominateur vaut \(\sqrt{1 + 4 + 4} = 3\).

La distance est \(\dfrac43\).

7 Orthogonalité de vecteurs ★★★

1. \(u \cdot v = 3 - 2 - 1 = 0\) : les vecteurs sont orthogonaux.
2. \(u \cdot w_k = k + 6 - 2 = k + 4\). Cette quantité est nulle si et seulement si \(k = -4\).

8 Longueur d’une spirale ★★★

\(x'(t) = e^t(\cos t - \sin t)\) et \(y'(t) = e^t(\sin t + \cos t)\). Alors
\(x'^2 + y'^2 = e^{2t}\big[(\cos t - \sin t)^2 + (\cos t + \sin t)^2\big] = 2e^{2t}\), donc \(\|\gamma'(t)\| = \sqrt2\,e^t\).

\(L = \sqrt2\displaystyle\int_0^1 e^t\,dt = \sqrt2\,(e - 1) \approx 2{,}43\).

9 Courbure d’une chaînette ★★★

\(y' = \sinh x\), \(y'' = \cosh x\) et \(1 + y'^2 = \cosh^2 x\). Donc \(\kappa = \dfrac{\cosh x}{(\cosh^2 x)^{3/2}} = \dfrac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \dfrac{1}{\cosh^2 x}\).

Pour \(x = 0\) : \(\kappa = 1\), \(R = 1\). Pour \(x = \ln 2\) : \(\cosh(\ln 2) = \dfrac{2 + \frac12}{2} = \dfrac54\), donc \(\kappa = \dfrac{16}{25}\) et \(R = \dfrac{25}{16}\).

10 Somme des distances aux foyers ★★★

\(\dfrac{9}{25} + \dfrac{144/25}{9} = \dfrac{9}{25} + \dfrac{16}{25} = 1\) : \(M\) est sur l’ellipse.

\(MF = \sqrt{1 + \tfrac{144}{25}} = \sqrt{\tfrac{169}{25}} = \dfrac{13}{5}\) et \(MF’ = \sqrt{49 + \tfrac{144}{25}} = \sqrt{\tfrac{1369}{25}} = \dfrac{37}{5}\).

La somme vaut \(\dfrac{50}{5} = 10 = 2a\), comme prévu.

11 Tangente à une ellipse ★★★

La tangente a pour équation \(\dfrac{3x}{25} + \dfrac{(12/5)\,y}{9} = 1\), soit \(\dfrac{3x}{25} + \dfrac{4y}{15} = 1\).

En multipliant par 75 : \(9x + 20y = 75\). Vérification : \(27 + 48 = 75\).

12 Hyperbole, foyers et asymptotes ★★★

1. \(a = 2\), \(b = \sqrt5\), \(c = \sqrt{4 + 5} = 3\). Foyers \((\pm 3, 0)\), \(e = \dfrac32\), asymptotes \(y = \pm\dfrac{\sqrt5}{2}x\).
2. \(\dfrac{16}{4} - \dfrac{15}{5} = 4 - 3 = 1\). Ensuite \(MF = \sqrt{1 + 15} = 4\) et \(MF’ = \sqrt{49 + 15} = 8\), donc \(|MF - MF’| = 4 = 2a\).

13 Reconnaître des quadriques ★★★

1. Trois signes positifs, second membre positif : ellipsoïde (de révolution autour de \((Oz)\)).
2. Second membre nul, deux signes positifs et un négatif : cône de révolution d’axe \((Oz)\).
3. Forme \(z = \) différence de carrés : paraboloïde hyperbolique.
4. \(z^2 - x^2 - y^2 = 1\) : hyperboloïde à deux nappes, d’axe \((Oz)\).

14 Plan tangent à un graphe ★★★

\(f(1,2) = 5\), \(f_x(x,y) = 2x\) donc \(f_x(1,2) = 2\), \(f_y(x,y) = 2y\) donc \(f_y(1,2) = 4\).

Plan tangent : \(z = 5 + 2(x - 1) + 4(y - 2) = 2x + 4y - 5\).

Vérification en \((1,2,5)\) : \(2 + 8 - 5 = 5\).

15 Distance d’un point à une droite ★★★

\(\overrightarrow{AM} = (2, 1, -1)\). Le produit vectoriel est \(\overrightarrow{AM} \wedge u = (1\cdot2 - (-1)\cdot2,\ (-1)\cdot1 - 2\cdot2,\ 2\cdot2 - 1\cdot1) = (4, -5, 3)\).

Sa norme vaut \(\sqrt{16 + 25 + 9} = \sqrt{50} = 5\sqrt2\) et \(\|u\| = 3\).

La distance est \(\dfrac{5\sqrt2}{3} \approx 2{,}36\).

16 Longueur totale de l’astroïde ★★★

1. \(\gamma'(t) = (-3\cos^2 t\sin t,\ 3\sin^2 t\cos t)\), donc \(\|\gamma'(t)\| = 3|\sin t\cos t|\). Par symétrie, \(L = 4\displaystyle\int_0^{\pi/2} 3\sin t\cos t\,dt = 12\Big[\dfrac{\sin^2 t}{2}\Big]_0^{\pi/2} = 6\).
2. La tangente est dirigée par \((-\cos t, \sin t)\) (on a simplifié par \(3\sin t\cos t > 0\)), donc un vecteur normal est \((\sin t, \cos t)\). Elle passe par \(M(\cos^3 t, \sin^3 t)\) : \(x\sin t + y\cos t = \sin t\cos^3 t + \cos t\sin^3 t = \sin t\cos t\).
   Elle coupe \((Ox)\) en \((\cos t, 0)\) et \((Oy)\) en \((0, \sin t)\). La longueur du segment est \(\sqrt{\cos^2 t + \sin^2 t} = 1\).

17 Courbure d’une ellipse ★★★

1. \(x' = -5\sin t\), \(y' = 3\cos t\), \(x'' = -5\cos t\), \(y'' = -3\sin t\). Alors \(x'y'' - y'x'' = 15\sin^2 t + 15\cos^2 t = 15\) et \(x'^2 + y'^2 = 25\sin^2 t + 9\cos^2 t\).
2. En \((5,0)\), \(t = 0\) : \(\kappa = \dfrac{15}{27} = \dfrac59\), donc \(R = \dfrac95\). En \((0,3)\), \(t = \pi/2\) : \(\kappa = \dfrac{15}{125} = \dfrac{3}{25}\), donc \(R = \dfrac{25}{3}\).

La courbure est maximale aux extrémités du grand axe.

18 Réduction d’une quadrique ★★★

La matrice est \(S = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{pmatrix}\). Le vecteur \((1,1,0)\) est propre pour \(3\), \((1,-1,0)\) pour \(-1\) et \((0,0,1)\) pour \(-2\).

Avec \(u = \tfrac{x+y}{\sqrt2}\), \(v = \tfrac{x-y}{\sqrt2}\), \(w = z\) : \(3u^2 - v^2 - 2w^2 = 6\), soit \(\dfrac{u^2}{2} - \dfrac{v^2}{6} - \dfrac{w^2}{3} = 1\).

Un signe positif et deux négatifs avec second membre positif : hyperboloïde à deux nappes, d’axe la droite dirigée par \((1,1,0)\). Les sommets sont \(u = \pm\sqrt2\), c’est-à-dire \(\pm(1,1,0)\) : on vérifie \(1 + 1 + 4 = 6\).

19 Symétrie glissée ★★★

1. La partie linéaire est \(U = \tfrac15\begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 4 & -3 \end{pmatrix}\). On a \(U^T U = \tfrac1{25}\begin{pmatrix} 25 & 0 \\ 0 & 25 \end{pmatrix} = I\) et \(\det U = \tfrac{-9 - 16}{25} = -1\) : antidéplacement.
2. Un point fixe vérifierait \(2x - 4y = 15\) (première coordonnée) et \(-4x + 8y = 20\), soit \(2x - 4y = -10\) : contradiction. Il n’y a pas de point fixe, donc \(f\) est une symétrie glissée, non une réflexion.
3. La direction de l’axe est \(\ker(U - I)\), engendré par \((2,1)\). On décompose \(b = (3,4) = (4,2) + (-1,2)\) avec \((4,2)\) colinéaire à \((2,1)\) et \((-1,2)\) orthogonal. Le vecteur de glissement est \((4,2)\), de norme \(2\sqrt5\), et l’axe est la droite \(x - 2y = -\tfrac52\).

20 Rotation dans l’espace ★★★

1. \(f\) permute les coordonnées : \(\|f(v)\|^2 = z^2 + x^2 + y^2 = \|v\|^2\). Sa matrice \(\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\) est une matrice de permutation cyclique, orthogonale, de déterminant \(+1\).
2. L’axe est \(\ker(f - \mathrm{id})\) : \(z = x\), \(x = y\), \(y = z\), donc la droite dirigée par \((1,1,1)\). La trace vaut 0, donc \(1 + 2\cos\theta = 0\), \(\cos\theta = -\tfrac12\) : l’angle est \(\dfrac{2\pi}{3}\) (au signe près selon l’orientation de l’axe).

21 Plan tangent et distance à l’origine ★★★

1. \(1 + 2 + 3 = 6\) : \(A\) est sur la surface. Avec \(F = x^2 + 2y^2 + 3z^2 - 6\), \(\nabla F(A) = (2, 4, 6)\). Plan tangent : \(2(x-1) + 4(y-1) + 6(z-1) = 0\), soit \(x + 2y + 3z = 6\).
2. \(d = \dfrac{|-6|}{\sqrt{1 + 4 + 9}} = \dfrac{6}{\sqrt{14}} \approx 1{,}60\).

22 Nappe paramétrée ★★★

\(\partial_u S = (1, 0, v)\) et \(\partial_v S = (0, 1, u)\). Leur produit vectoriel est \((0\cdot u - v\cdot 1,\ v\cdot 0 - 1\cdot u,\ 1) = (-v, -u, 1)\), jamais nul.

En \((1,2)\) : le point est \((1, 2, 2)\) et la normale \((-2, -1, 1)\). Plan : \(-2(x-1) - (y-2) + (z-2) = 0\), soit \(z = 2x + y - 2\).

Avec le graphe \(z = xy\) : \(f_x = y = 2\), \(f_y = x = 1\), d’où \(z = 2 + 2(x-1) + (y-2) = 2x + y - 2\). Les deux méthodes concordent.