Géométrie dans l'espace : exercices corrigés de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Coordonnées, norme et milieu ★★★

1. \(\overrightarrow{AB}(5-2\,;\,1-(-3)\,;\,-2-1)=(3\,;\,4\,;\,-3)\).
2. \(AB^2=9+16+9=34\), donc \(AB=\sqrt{34}\approx5{,}83\).
3. \(I\left(\dfrac{2+5}{2}\,;\,\dfrac{-3+1}{2}\,;\,\dfrac{1-2}{2}\right)=\left(\dfrac{7}{2}\,;\,-1\,;\,-\dfrac{1}{2}\right)\).

2 Vecteurs colinéaires ? ★★★

On cherche \(k\) tel que \(\vec{v}=k\vec{u}\) : la première coordonnée donne \(k=-\dfrac{3}{2}\). Alors \(-\dfrac{3}{2}\times(-4)=6\) et \(-\dfrac{3}{2}\times6=-9\) : les trois coordonnées conviennent, donc \(\vec{v}=-\dfrac{3}{2}\vec{u}\) et \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) sont colinéaires.

Pour \(\vec{w}=k\vec{u}\) : \(k=\dfrac{1}{2}\) avec \(x\) et avec \(y\) (\(-4\times\dfrac12=-2\)), mais \(6\times\dfrac12=3\neq4\). Donc \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas colinéaires.

3 Produits scalaires ★★★

1. \(\vec{u}\cdot\vec{v}=3\times1+(-1)\times4+2\times(-2)=3-4-4=-5\).
2. \(\lVert\vec{u}\rVert^2=9+1+4=14\).
3. \(\vec{a}\cdot\vec{b}=4k-6-10=4k-16\). Il est nul si et seulement si \(k=4\).

4 Représentation paramétrique d’une droite ★★★

1. \(d\,:\,x=1+2t,\ y=-2+3t,\ z=4-t\) avec \(t\in\mathbb{R}\).
2. Pour \(B\) : \(1+2t=5\) donne \(t=2\), puis \(y=-2+6=4\) et \(z=4-2=2\). Les trois coordonnées conviennent : \(B\in d\).
   Pour \(C\) : \(1+2t=0\) donne \(t=-\dfrac12\), puis \(y=-2-\dfrac32=-\dfrac72\neq0\). Donc \(C\notin d\).

5 Équation d’un plan avec un point et une normale ★★★

1. \(P\) a une équation de la forme \(x+4y-2z+d=0\). Avec \(A\) : \(2-4-6+d=0\), donc \(d=8\) et \(P\,:\,x+4y-2z+8=0\).
2. Pour \(B\) : \(0-8-0+8=0\), donc \(B\in P\).
   Pour \(C\) : \(1+4-2+8=11\neq0\), donc \(C\notin P\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(\vec{\imath}\), \(\vec{\jmath}\), \(\vec{k}\) ne sont pas coplanaires (aucun n’est combinaison des deux autres).
2. Faux : \(\vec{\imath}(1\,;\,0\,;\,0)\) et \(\vec{\jmath}(0\,;\,1\,;\,0)\) sont non nuls, et \(\vec{\imath}\cdot\vec{\jmath}=0\).
3. Vrai : les normaux \((1\,;\,1\,;\,1)\) et \((2\,;\,2\,;\,2)\) sont colinéaires. Le point \((1\,;\,0\,;\,0)\) est dans le premier plan, mais \(2-5=-3\neq0\) : il n’est pas dans le second. Les plans sont donc distincts et parallèles.

7 Distance d’un point à un plan ★★★

\(2\times4+3\times(-1)+6\times1-1=8-3+6-1=10\) et \(\sqrt{2^2+3^2+6^2}=\sqrt{49}=7\). Donc \(d(M,P)=\dfrac{10}{7}\approx1{,}43\).

8 Dans un cube ★★★

1. \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AE}\).
2. \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), donc \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}\). Comme \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AE}\) ne sont pas colinéaires, \(\overrightarrow{AG}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AE}\) sont coplanaires : les points \(A\), \(C\), \(G\), \(E\) le sont aussi.
3. Non. Si \(\overrightarrow{AG}=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AD}\), alors \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AG}-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=(a-1)\overrightarrow{AB}+(b-1)\overrightarrow{AD}\), ce qui rendrait \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AE}\) coplanaires : contradiction.

9 Quatre points coplanaires ★★★

1. \(\overrightarrow{AB}(1\,;\,2\,;\,1)\) et \(\overrightarrow{AC}(-1\,;\,1\,;\,2)\). Si \(\overrightarrow{AC}=\lambda\overrightarrow{AB}\), alors \(\lambda=-1\) avec \(x\), mais \(1\neq-2\) pour \(y\) : non colinéaires.
2. \(\overrightarrow{AD}(1\,;\,5\,;\,k)=a\overrightarrow{AB}+b\overrightarrow{AC}\) donne \(a-b=1\), \(2a+b=5\) et \(a+2b=k\). Les deux premières équations donnent \(3a=6\), soit \(a=2\) et \(b=1\). Alors \(k=a+2b=4\).

10 Droite et plans de coordonnées ★★★

1. \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,-2\,;\,1)\), donc \(x=2+2t,\ y=1-2t,\ z=-3+t\).
2. \(z=0\) donne \(t=3\), d’où \((8\,;\,-5\,;\,0)\).
   \(x=0\) donne \(t=-1\), d’où \(y=3\) et \(z=-4\) : le point \((0\,;\,3\,;\,-4)\).

11 Un triangle rectangle dans l’espace ★★★

1. \(\overrightarrow{AB}(2\,;\,2\,;\,1)\), \(\overrightarrow{AC}(2\,;\,-1\,;\,-2)\) et \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=4-2-2=0\) : le triangle est rectangle en \(A\).
2. \(AB=\sqrt{4+4+1}=3\), \(AC=\sqrt{4+1+4}=3\), \(BC=\sqrt{0+9+9}=3\sqrt2\) (on retrouve \(AB^2+AC^2=18=BC^2\)). L’aire vaut \(\dfrac12\times3\times3=\dfrac92\).

12 Plan passant par trois points ★★★

1. \(\overrightarrow{AB}(1\,;\,2\,;\,-1)\), \(\overrightarrow{AC}(2\,;\,-1\,;\,1)\). Avec \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\) : \(a+2b-c=0\) et \(2a-b+c=0\). En additionnant : \(3a+b=0\), donc \(b=-3a\) et \(c=a+2b=-5a\). Pour \(a=1\) : \(\vec{n}(1\,;\,-3\,;\,-5)\).
2. \(x-3y-5z+d=0\). Avec \(A\) : \(-3-10+d=0\), d’où \(d=13\) : \(x-3y-5z+13=0\). Contrôles : \(B\) donne \(1-9-5+13=0\), \(C\) donne \(2-0-15+13=0\).
3. \(4+3-20+13=0\) : \(D\) est dans le plan.

13 Droite et plan : trois cas ★★★

Un vecteur directeur de \(d\) est \(\vec{u}(1\,;\,-1\,;\,1)\) et le point \(A(-1\,;\,2\,;\,1)\) est sur \(d\).

\(P_1\) : \(\vec{n}_1(2\,;\,1\,;\,-1)\) et \(\vec{u}\cdot\vec{n}_1=2-1-1=0\). Avec \(A\) : \(-2+2-1+1=0\), donc \(d\) est incluse dans \(P_1\).

\(P_2\) : même normal, donc \(\vec{u}\cdot\vec{n}_2=0\), mais \(-2+2-1+4=3\neq0\) : \(d\) est strictement parallèle à \(P_2\).

\(P_3\) : \(\vec{u}\cdot\vec{n}_3=1-1+1=1\neq0\) : sécants. On remplace : \((-1+t)+(2-t)+(1+t)-5=t-3=0\), donc \(t=3\) et le point d’intersection est \((2\,;\,-1\,;\,4)\).

14 Plans parallèles ou perpendiculaires ★★★

1. \(\vec{n}_Q(2\,;\,-4\,;\,2)=2\vec{n}_P\) : les plans sont parallèles. Le point \((3\,;\,0\,;\,0)\) est dans \(P\) mais \(6+1=7\neq0\) : il n’est pas dans \(Q\). Les plans sont donc strictement parallèles.
2. \(\vec{n}_P(1\,;\,-2\,;\,1)\) et \(\vec{n}_S(1\,;\,1\,;\,1)\) ne sont pas colinéaires : les plans sont sécants. De plus \(\vec{n}_P\cdot\vec{n}_S=1-2+1=0\) : les normaux sont orthogonaux, donc les plans sont perpendiculaires.

15 Un drone devant un mur ★★★

1. \(4\times10+3\times12-60=16\) et \(\sqrt{16+9+0}=5\) : \(d(M,P)=\dfrac{16}{5}=3{,}2\) m. La droite \((MH)\) a pour direction \(\vec{n}(4\,;\,3\,;\,0)\) : \(x=10+4s,\ y=12+3s,\ z=25\). Dans \(P\) : \(4(10+4s)+3(12+3s)-60=16+25s=0\), donc \(s=-\dfrac{16}{25}\) et \(H(7{,}44\,;\,10{,}08\,;\,25)\).
2. Trajectoire : \(x=10+t,\ y=12-2t,\ z=25-t\). Dans \(P\) : \(4(10+t)+3(12-2t)-60=16-2t=0\), donc \(t=8\) et le point d’impact est \((18\,;\,-4\,;\,17)\). La distance parcourue est \(8\lVert\vec{u}\rVert=8\sqrt6\approx19{,}6\) m.

16 Un tétraèdre et son volume ★★★

1. \(A\) : \(6-6=0\) ; \(B\) : \(6-6=0\) ; \(C\) : \(6-6=0\). Les trois points vérifient l’équation d’un plan, et ils ne sont pas alignés : c’est bien \((ABC)\).
2. \(d(O,(ABC))=\dfrac{\lvert-6\rvert}{\sqrt{1+4+9}}=\dfrac{6}{\sqrt{14}}=\dfrac{3\sqrt{14}}{7}\approx1{,}60\).
3. L’aire de \(OAB\) vaut \(\dfrac12\times6\times3=9\), donc \(V=\dfrac13\times9\times2=6\). Alors \(\text{aire}(ABC)=\dfrac{3V}{d}=\dfrac{18}{6/\sqrt{14}}=3\sqrt{14}\approx11{,}22\).

17 Projeté orthogonal et symétrique ★★★

1. \(3-2+2+3=6\) et \(\sqrt{1+4+4}=3\), donc \(d(M,P)=2\).
2. \((MH)\) : \(x=3+t,\ y=1-2t,\ z=1+2t\). Dans \(P\) : \((3+t)-2(1-2t)+2(1+2t)+3=9t+6=0\), donc \(t=-\dfrac23\) et \(H\left(\dfrac73\,;\,\dfrac73\,;\,-\dfrac13\right)\).
3. \(H\) est le milieu de \([MM']\), donc \(M'=2H-M=\left(\dfrac{5}{3}\,;\,\dfrac{11}{3}\,;\,-\dfrac{5}{3}\right)\).

18 Distance entre deux plans parallèles ★★★

1. Les normaux sont identiques, et \(\Omega(0\,;\,0\,;\,3)\) est dans \(P\) (\(3-3=0\)) mais pas dans \(Q\) (\(3+6=9\neq0\)).
2. \(d(\Omega,Q)=\dfrac{\lvert3+6\rvert}{\sqrt{4+4+1}}=\dfrac93=3\).
3. Un plan \(R\,:\,2x-2y+z+c=0\) est à la distance \(\dfrac{\lvert3+c\rvert}{3}\) de \(P\). Elle vaut \(3\) si \(c=6\) (c’est \(Q\)) ou \(c=-12\). Le plan cherché est \(2x-2y+z-12=0\).

19 Intersection de deux plans ★★★

1. Les normaux \((1\,;\,1\,;\,-1)\) et \((2\,;\,-1\,;\,1)\) ne sont pas colinéaires : les plans sont sécants. En additionnant les équations : \(3x-6=0\), soit \(x=2\). Alors \(y-z=-1\). Avec \(z=t\) : \(\Delta\,:\,x=2,\ y=-1+t,\ z=t\). (Contrôle avec \(Q\) : \(4-(-1+t)+t-5=0\).)
2. Le vecteur directeur \(\vec{w}(0\,;\,1\,;\,1)\) vérifie \(\vec{w}\cdot\vec{n}_P=0+1-1=0\) et \(\vec{w}\cdot\vec{n}_Q=0-1+1=0\).
3. On injecte \(\Delta\) dans \(R\) : \(2+(-1+t)+2t-7=3t-6=0\), donc \(t=2\) et le point est \((2\,;\,1\,;\,2)\).

20 Un cube coupé en trois ★★★

1. \(\overrightarrow{AG}(1\,;\,1\,;\,1)\). \(\overrightarrow{BD}(-1\,;\,1\,;\,0)\) et \(\overrightarrow{BE}(-1\,;\,0\,;\,1)\) sont non colinéaires, et \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BD}=0\), \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{BE}=0\) : \(\overrightarrow{AG}\) est normal à \((BDE)\). De même \(\overrightarrow{CF}(0\,;\,-1\,;\,1)\), \(\overrightarrow{CH}(-1\,;\,0\,;\,1)\) donnent \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{CF}=0\) et \(\overrightarrow{AG}\cdot\overrightarrow{CH}=0\).
2. \((BDE)\,:\,x+y+z+d=0\) avec \(B\) : \(1+d=0\), soit \(x+y+z-1=0\). \((CFH)\,:\,x+y+z-2=0\) (avec \(C\) : \(2+d=0\)).
3. \((AG)\) : \(x=y=z=t\). Dans \((BDE)\) : \(3t=1\), donc \(K\left(\dfrac13\,;\,\dfrac13\,;\,\dfrac13\right)\). Dans \((CFH)\) : \(3t=2\), donc \(L\left(\dfrac23\,;\,\dfrac23\,;\,\dfrac23\right)\). Les points \(A\), \(K\), \(L\), \(G\) correspondent aux paramètres \(0\), \(\dfrac13\), \(\dfrac23\), \(1\), régulièrement espacés, et \(AG=\sqrt3\) : \(AK=KL=LG=\dfrac{\sqrt3}{3}\).