Géométrie dans l'espace : contrôle de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Vecteurs, longueurs et angle / 4 pts

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(1\,;\,2\,;\,-1)\), \(B(3\,;\,0\,;\,1)\) et \(C(2\,;\,3\,;\,2)\).

1. Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) et de \(\overrightarrow{AC}\).
2. Calcule \(AB\), \(AC\) et \(BC\). Que peut-on dire du triangle \(ABC\) ?
3. Calcule \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), puis une valeur approchée de l’angle \(\widehat{BAC}\) au dixième de degré.

2 Coplanarité / 3 pts

On donne \(\vec{u}(1\,;\,-1\,;\,2)\), \(\vec{v}(2\,;\,0\,;\,1)\) et \(\vec{w}(5\,;\,-3\,;\,k)\).

1. Montre que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.
2. Détermine \(k\) pour que \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) soient coplanaires.
3. Pour \(k=0\), les trois vecteurs sont-ils coplanaires ? Justifie.

3 Une droite et un plan / 3 pts

La droite \(d\) a pour représentation paramétrique \(x=2-t,\ y=1+3t,\ z=-1+2t\).

1. Les points \(B(-1\,;\,10\,;\,5)\) et \(C(4\,;\,-5\,;\,-4)\) sont-ils sur \(d\) ?
2. Donne un vecteur directeur de \(d\).
3. Détermine le point d’intersection de \(d\) avec le plan \(P\,:\,x+y+z-6=0\).

4 Un plan et une distance / 4 pts

On donne \(A(1\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,2\,;\,0)\), \(C(0\,;\,0\,;\,3)\) et \(D(1\,;\,2\,;\,4)\).

1. Montre que \(\vec{n}(6\,;\,3\,;\,2)\) est normal au plan \((ABC)\).
2. Déduis une équation cartésienne de \((ABC)\).
3. Calcule la distance de \(D\) au plan \((ABC)\).
4. Détermine les coordonnées du projeté orthogonal \(H\) de \(D\) sur \((ABC)\).

5 Plans parallèles / 3 pts

On donne \(P\,:\,2x-y+3z-4=0\) et \(Q\,:\,-4x+2y-6z+1=0\).

1. Montre que \(P\) et \(Q\) sont strictement parallèles.
2. Calcule la distance entre \(P\) et \(Q\) (valeur exacte, puis approchée au centième).

6 Une pyramide / 3 pts

Dans un repère orthonormé, la pyramide \(SOABC\) a pour base le carré \(OABC\) avec \(O(0\,;\,0\,;\,0)\), \(A(4\,;\,0\,;\,0)\), \(B(4\,;\,4\,;\,0)\), \(C(0\,;\,4\,;\,0)\) et pour sommet \(S(2\,;\,2\,;\,3)\). Le point \(K\) est le centre de la base.

1. Montre que \(SA=SB\).
2. Montre que \(3x+2z-12=0\) est une équation du plan \((SAB)\).
3. Calcule la distance de \(K\) au plan \((SAB)\).