Géométrie dans l'espace : exercices de maths Terminale à télécharger en PDF

1 Coordonnées, norme et milieu ★★★

Dans un repère orthonormé, on donne \(A(2\,;\,-3\,;\,1)\) et \(B(5\,;\,1\,;\,-2)\).

1. Calcule les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\).
2. Calcule la longueur \(AB\).
3. Détermine les coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\).

2 Vecteurs colinéaires ? ★★★

On donne \(\vec{u}(2\,;\,-4\,;\,6)\), \(\vec{v}(-3\,;\,6\,;\,-9)\) et \(\vec{w}(1\,;\,-2\,;\,4)\). Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ? Et \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ?

3 Produits scalaires ★★★

1. Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) pour \(\vec{u}(3\,;\,-1\,;\,2)\) et \(\vec{v}(1\,;\,4\,;\,-2)\).
2. Calcule \(\lVert\vec{u}\rVert^2\).
3. Pour quelle valeur de \(k\) les vecteurs \(\vec{a}(k\,;\,3\,;\,-2)\) et \(\vec{b}(4\,;\,-2\,;\,5)\) sont-ils orthogonaux ?

4 Représentation paramétrique d’une droite ★★★

Soit \(d\) la droite passant par \(A(1\,;\,-2\,;\,4)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(2\,;\,3\,;\,-1)\).

1. Donne une représentation paramétrique de \(d\).
2. Les points \(B(5\,;\,4\,;\,2)\) et \(C(0\,;\,0\,;\,5)\) appartiennent-ils à \(d\) ?

5 Équation d’un plan avec un point et une normale ★★★

Un plan \(P\) passe par \(A(2\,;\,-1\,;\,3)\) et admet \(\vec{n}(1\,;\,4\,;\,-2)\) pour vecteur normal.

1. Détermine une équation cartésienne de \(P\).
2. Le point \(B(0\,;\,-2\,;\,0)\) est-il dans \(P\) ? Et \(C(1\,;\,1\,;\,1)\) ?

6 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Trois vecteurs de l’espace sont toujours coplanaires.
2. Si \(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\), alors \(\vec{u}=\vec{0}\) ou \(\vec{v}=\vec{0}\).
3. Les plans \(x+y+z-1=0\) et \(2x+2y+2z-5=0\) sont strictement parallèles.

7 Distance d’un point à un plan ★★★

Calcule la distance du point \(M(4\,;\,-1\,;\,1)\) au plan \(P\,:\,2x+3y+6z-1=0\).

8 Dans un cube ★★★

\(ABCDEFGH\) est un cube. On travaille avec les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AE}\), qui ne sont pas coplanaires.

1. Exprime \(\overrightarrow{AG}\) à l’aide de ces trois vecteurs.
2. Montre que les points \(A\), \(C\), \(G\), \(E\) sont coplanaires.
3. Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AD}\), \(\overrightarrow{AG}\) sont-ils coplanaires ?

9 Quatre points coplanaires ★★★

On donne \(A(1\,;\,1\,;\,0)\), \(B(2\,;\,3\,;\,1)\), \(C(0\,;\,2\,;\,2)\) et \(D(2\,;\,6\,;\,k)\), où \(k\) est un réel.

1. Montre que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires.
2. Détermine \(k\) pour que \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) soient coplanaires.

10 Droite et plans de coordonnées ★★★

On donne \(A(2\,;\,1\,;\,-3)\) et \(B(4\,;\,-1\,;\,-2)\).

1. Donne une représentation paramétrique de \((AB)\).
2. Détermine les points d’intersection de \((AB)\) avec le plan \((xOy)\) d’équation \(z=0\), puis avec le plan \((yOz)\) d’équation \(x=0\).

11 Un triangle rectangle dans l’espace ★★★

On donne \(A(1\,;\,0\,;\,2)\), \(B(3\,;\,2\,;\,3)\) et \(C(3\,;\,-1\,;\,0)\).

1. Montre que le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\).
2. Calcule \(AB\), \(AC\) et \(BC\), puis l’aire du triangle.

12 Plan passant par trois points ★★★

On donne \(A(0\,;\,1\,;\,2)\), \(B(1\,;\,3\,;\,1)\) et \(C(2\,;\,0\,;\,3)\).

1. Détermine un vecteur normal au plan \((ABC)\).
2. Donne une équation cartésienne de \((ABC)\).
3. Montre que \(D(4\,;\,-1\,;\,4)\) appartient à ce plan.

13 Droite et plan : trois cas ★★★

Soit \(d\) la droite \(x=-1+t,\ y=2-t,\ z=1+t\). Étudie la position de \(d\) par rapport à chacun des plans \(P_1\,:\,2x+y-z+1=0\), \(P_2\,:\,2x+y-z+4=0\) et \(P_3\,:\,x+y+z-5=0\).

14 Plans parallèles ou perpendiculaires ★★★

On considère \(P\,:\,x-2y+z-3=0\), \(Q\,:\,2x-4y+2z+1=0\) et \(S\,:\,x+y+z-4=0\).

1. Montre que \(P\) et \(Q\) sont strictement parallèles.
2. Montre que \(P\) et \(S\) sont sécants et perpendiculaires.

15 Un drone devant un mur ★★★

Dans un repère orthonormé d’unité le mètre, un mur vertical est contenu dans le plan \(P\,:\,4x+3y-60=0\). Un drone est en \(M(10\,;\,12\,;\,25)\).

1. À quelle distance du mur se trouve-t-il ? Quel est le point \(H\) du mur le plus proche ?
2. Le drone avance ensuite en ligne droite avec le vecteur directeur \(\vec{u}(1\,;\,-2\,;\,-1)\), à partir de \(M\). Où touche-t-il le mur ? Quelle distance a-t-il parcourue ?

16 Un tétraèdre et son volume ★★★

On donne \(O(0\,;\,0\,;\,0)\), \(A(6\,;\,0\,;\,0)\), \(B(0\,;\,3\,;\,0)\), \(C(0\,;\,0\,;\,2)\) dans un repère orthonormé.

1. Montre que le plan \((ABC)\) a pour équation \(x+2y+3z-6=0\).
2. Calcule la distance de \(O\) à \((ABC)\).
3. Le volume du tétraèdre \(OABC\) est \(V=\dfrac13\times\text{aire}(OAB)\times OC\). Calcule \(V\), puis déduis l’aire du triangle \(ABC\) de la formule \(V=\dfrac13\times\text{aire}(ABC)\times d\), où \(d\) est la distance de \(O\) à \((ABC)\).

17 Projeté orthogonal et symétrique ★★★

Soit \(P\,:\,x-2y+2z+3=0\) et \(M(3\,;\,1\,;\,1)\).

1. Calcule \(d(M,P)\).
2. Détermine le projeté orthogonal \(H\) de \(M\) sur \(P\).
3. Déduis le symétrique \(M'\) de \(M\) par rapport à \(P\).

18 Distance entre deux plans parallèles ★★★

On considère \(P\,:\,2x-2y+z-3=0\) et \(Q\,:\,2x-2y+z+6=0\).

1. Montre que \(P\) et \(Q\) sont strictement parallèles.
2. Calcule la distance entre \(P\) et \(Q\) (distance d’un point de \(P\) au plan \(Q\)).
3. Détermine l’équation de l’autre plan parallèle à \(P\), situé à la même distance de \(P\) que \(Q\), de l’autre côté.

19 Intersection de deux plans ★★★

On donne \(P\,:\,x+y-z-1=0\) et \(Q\,:\,2x-y+z-5=0\).

1. Montre que \(P\) et \(Q\) se coupent selon une droite \(\Delta\) et donne une représentation paramétrique de \(\Delta\).
2. Vérifie que \(\Delta\) est orthogonale aux deux vecteurs normaux.
3. Détermine le point commun à \(P\), \(Q\) et au plan \(R\,:\,x+y+2z-7=0\).

20 Un cube coupé en trois ★★★

Dans le repère orthonormé \((A\,;\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD},\overrightarrow{AE})\), le cube \(ABCDEFGH\) a pour arête \(1\) : \(A(0\,;\,0\,;\,0)\), \(B(1\,;\,0\,;\,0)\), \(D(0\,;\,1\,;\,0)\), \(E(0\,;\,0\,;\,1)\), donc \(C(1\,;\,1\,;\,0)\), \(F(1\,;\,0\,;\,1)\), \(G(1\,;\,1\,;\,1)\), \(H(0\,;\,1\,;\,1)\).

1. Montre que \(\overrightarrow{AG}\) est normal aux plans \((BDE)\) et \((CFH)\).
2. Détermine une équation de chacun de ces plans.
3. La droite \((AG)\) coupe \((BDE)\) en \(K\) et \((CFH)\) en \(L\). Calcule leurs coordonnées et prouve que \(AK=KL=LG\).