21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Produit scalaire et norme dans R³ ★★★
Dans \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire canonique, calculer \(\langle u,v\rangle\), \(\|u\|\) et \(\|v\|\) pour \(u = (2,-1,3)\) et \(v = (4,5,-2)\).
2 Produit scalaire ou non ? ★★★
Pour \(x = (x_1,x_2)\) et \(y = (y_1,y_2)\) dans \(\mathbb{R}^2\), dire si les applications suivantes sont des produits scalaires : (a) \(x_1y_1 - x_2y_2\) ; (b) \(2x_1y_1 + 3x_2y_2\) ; (c) \(x_1y_1 + x_2y_2 + x_1y_2\).
3 Vecteurs orthogonaux ★★★
On donne \(u = (1,2,-1)\), \(v = (3,-1,1)\) et \(w = (2,1,4)\) dans \(\mathbb{R}^3\). Quels couples sont orthogonaux ?
4 Un angle ★★★
Calculer l’angle entre \(u = (1,1,0)\) et \(v = (0,1,1)\) dans \(\mathbb{R}^3\).
5 Pythagore ★★★
Dans un espace euclidien, \(u\) et \(v\) sont orthogonaux avec \(\|u\| = 3\) et \(\|v\| = 4\). Calculer \(\|u+v\|\) et \(\|u-v\|\).
6 Matrices orthogonales 2×2 ★★★
Parmi \(A = \dfrac1{13}\begin{pmatrix}5&-12\\12&5\end{pmatrix}\), \(B = \dfrac1{13}\begin{pmatrix}5&12\\12&-5\end{pmatrix}\) et \(C = \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\), lesquelles sont orthogonales ? Préciser rotation ou réflexion.
7 Un premier cas du théorème spectral ★★★
Diagonaliser \(A = \begin{pmatrix}0&2\\2&0\end{pmatrix}\) dans une base orthonormée.
8 Cauchy-Schwarz pour trois réels ★★★
(a) Montrer que pour tous réels \(a,b,c\), \((a+b+c)^2 \leqslant 3(a^2+b^2+c^2)\). (b) Si \(a+b+c = 6\), minorer \(a^2+b^2+c^2\) et préciser le cas d’égalité.
9 Produit scalaire intégral ★★★
Sur \(\mathbb{R}_2[X]\), on pose \(\langle P,Q\rangle = \int_0^1 P(t)Q(t)\,dt\). (a) Calculer \(\langle 1,X\rangle\) et \(\|X\|\). (b) Orthonormaliser \((1,X)\).
10 Un plan de R³ ★★★
Soit \(F = \{(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 \mid x + y + z = 0\}\). (a) Donner \(F^{\perp}\) et une base orthogonale de \(F\). (b) Calculer les projections orthogonales de \(x = (3,0,0)\) sur \(F^{\perp}\) puis sur \(F\). (c) En déduire l’image de \(x\) par la symétrie orthogonale par rapport à \(F\).
11 Distance d’un point à une droite ★★★
Dans \(\mathbb{R}^3\), calculer la distance du point \(x = (1,2,-1)\) à la droite \(D = \operatorname{Vect}(u)\) avec \(u = (2,1,2)\).
12 Gram-Schmidt dans le plan ★★★
Orthonormaliser la base \(v_1 = (3,4)\), \(v_2 = (1,0)\) de \(\mathbb{R}^2\).
13 Une matrice orthogonale conserve la norme ★★★
Soit \(Q\) une matrice orthogonale de taille \(n\). Montrer que \(\|Qx\| = \|x\|\) pour tout \(x\), puis que \(\det Q = \pm1\) et que toute valeur propre réelle de \(Q\) vaut \(\pm1\).
14 Symétrie orthogonale du plan ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), écrire la matrice de la projection orthogonale sur \(D = \operatorname{Vect}(1,2)\), puis celle de la symétrie orthogonale par rapport à \(D\). Vérifier que cette dernière est orthogonale de déterminant \(-1\).
15 Produit scalaire sur les matrices ★★★
Sur \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on pose \(\langle A,B\rangle = \operatorname{tr}(A^{\top}B)\). (a) Calculer \(\langle A,B\rangle\) et \(\|A\|^2\) pour \(A = \begin{pmatrix}1&2\\0&-1\end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix}3&0\\1&2\end{pmatrix}\). (b) Montrer que toute matrice symétrique est orthogonale à toute matrice antisymétrique.
16 Théorème spectral et puissances ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix}5&2\\2&2\end{pmatrix}\). Diagonaliser \(A\) dans une base orthonormée puis calculer \(A^5\).
17 Une matrice de la forme I + J ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}\). (a) Déterminer ses valeurs propres et une base orthonormée de vecteurs propres. (b) En déduire \(A^{-1}\).
18 Réduire une forme quadratique ★★★
Soit \(q(x,y) = 2x^2 + 2xy + 2y^2\). Écrire \(q\) comme somme pondérée de carrés dans une base orthonormée et décrire la courbe \(q(x,y) = 3\).
19 Un projecteur non orthogonal ★★★
Soit \(M = \begin{pmatrix}1&1\\0&0\end{pmatrix}\). (a) Montrer que \(M\) est une matrice de projecteur. (b) Est-ce une projection orthogonale ? (c) Donner la projection orthogonale sur \(\operatorname{Im}M\).
20 Polynômes orthogonaux de Legendre ★★★
Sur \(\mathbb{R}_3[X]\), on pose \(\langle P,Q\rangle = \int_{-1}^{1}P(t)Q(t)\,dt\). (a) Appliquer Gram-Schmidt à \((1,X,X^2)\). (b) Déterminer la projection orthogonale de \(X^3\) sur \(\mathbb{R}_2[X]\) et la distance de \(X^3\) à \(\mathbb{R}_2[X]\).
21 Orthogonalité des sous-espaces propres ★★★
Soit \(A\) une matrice symétrique réelle. (a) Montrer que deux vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux. (b) Vérifier sur \(A = \begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}\).
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