Espaces préhilbertiens et euclidiens : contrôle de maths Licence L2 à télécharger en PDF

1 Un produit scalaire sur R² / 4 pts

Pour \(x = (x_1,x_2)\) et \(y = (y_1,y_2)\), on pose \(\varphi(x,y) = 2x_1y_1 + x_1y_2 + x_2y_1 + 3x_2y_2\).

1. Montrer que \(\varphi\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}^2\).
2. Calculer \(\|(1,-1)\|\) pour ce produit scalaire, et dire si \((1,0)\) et \((0,1)\) sont orthogonaux.

2 Gram-Schmidt dans R³ / 4 pts

Dans \(\mathbb{R}^3\) canonique, orthonormaliser la famille \(v_1 = (1,0,1)\), \(v_2 = (2,1,0)\), \(v_3 = (0,1,1)\), après avoir vérifié qu’elle est libre.

3 Projection sur un plan / 4 pts

Soit \(F\) le plan d’équation \(2x - y + 2z = 0\) de \(\mathbb{R}^3\) et \(M = (3,1,-4)\).

1. Donner un vecteur normal à \(F\).
2. Calculer la projection orthogonale de \(M\) sur \(F\).
3. En déduire la distance de \(M\) à \(F\).

4 Un cas de théorème spectral / 4 pts

Soit \(A = \begin{pmatrix}1&\sqrt3\\\sqrt3&3\end{pmatrix}\).

1. Calculer les valeurs propres de \(A\).
2. Donner une matrice orthogonale \(Q\) et une matrice diagonale \(D\) telles que \(A = QDQ^{\top}\).

5 Une matrice 3×3 orthogonale / 4 pts

Soit \(M = \dfrac13\begin{pmatrix}2&-2&1\\1&2&2\\2&1&-2\end{pmatrix}\).

1. Montrer que \(M\) est orthogonale.
2. Calculer son déterminant.
3. Trouver un vecteur non nul \(x\) tel que \(Mx = -x\).