Cosinus d’un angle aigu : corrigé du contrôle de maths 4ème à télécharger en PDF

1 Vocabulaire et cosinus / 3 pts

1. L’hypoténuse est \([LN]\) et le côté adjacent à l’angle en \(L\) est \([LM]\) : \(\cos \widehat{MLN} = \dfrac{LM}{LN}\) (1 pt) \(= \dfrac{8}{10} = 0{,}8\) (1 pt).
2. Pour l’angle en \(N\), le côté adjacent est \([MN]\) : \(\cos \widehat{MNL} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6\) (1 pt).

2 Calculatrice / 3 pts

1. \(\cos 15^\circ \approx 0{,}966\) (1 pt) et \(\cos 52^\circ \approx 0{,}616\) (1 pt).
2. \(x = \cos^{-1}(0{,}35) \approx 69{,}51^\circ\), soit \(70^\circ\) au degré près (1 pt).

3 Calculer des longueurs / 4 pts

1. \([ST]\) est adjacent à l’angle en \(S\) : \(\cos 42^\circ = \dfrac{ST}{13{,}5}\) (1 pt), donc \(ST = 13{,}5 \times \cos 42^\circ \approx 10{,}03\) cm (1 pt).
2. \([VW]\) est adjacent et \([VX]\) est l’hypoténuse : \(\cos 27^\circ = \dfrac{9}{VX}\) (1 pt), donc \(VX = \dfrac{9}{\cos 27^\circ} \approx 10{,}10\) cm (1 pt).

4 Calculer un angle / 3 pts

Pour l’angle en \(P\), \([PQ]\) est adjacent et \([PR]\) est l’hypoténuse : \(\cos \widehat{QPR} = \dfrac{5{,}4}{8{,}2}\) (1 pt).

Donc \(\widehat{QPR} \approx 48{,}81^\circ\), soit \(49^\circ\) (1 pt).

Les angles aigus sont complémentaires : \(\widehat{QRP} \approx 90^\circ - 49^\circ = 41^\circ\) (1 pt).

5 Rampe de skatepark / 4 pts

1. La rampe est l’hypoténuse, la distance horizontale \(d\) est le côté adjacent : \(d = 3{,}5 \times \cos 15^\circ\) (1 pt) \(\approx 3{,}38\) m (1 pt).
2. \(\cos x = \dfrac{3{,}2}{3{,}5} \approx 0{,}9143\) (1 pt), donc \(x \approx 23{,}90^\circ\), soit \(24^\circ\) (1 pt).

6 Vrai ou faux ? / 3 pts

1. Faux : le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse, donc le cosinus est inférieur à \(1\) (1 pt).
2. Vrai : le quotient adjacent ÷ hypoténuse ne change pas quand on multiplie les deux longueurs par \(2\) (1 pt).
3. Vrai : \(\cos 30^\circ \approx 0{,}866\) et \(\cos 60^\circ = 0{,}5\) (1 pt).