Calcul différentiel dans Rn : exercices de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Dérivées partielles et gradient ★★★

Soit \(f(x,y) = x^3y - 2xy^2 + 5\). Calcule \(\partial_x f\), \(\partial_y f\), puis le gradient de \(f\) au point \((2,-1)\).

2 Une jacobienne 3 × 2 ★★★

Soit \(f(x,y) = (x^2 + y,\ xy,\ x - y^3)\), de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^3\). Écris sa matrice jacobienne, puis calcule-la en \((1,2)\).

3 Approximation linéaire ★★★

Soit \(f(x,y) = x^2y\), \(a = (1,3)\) et \(h = (0{,}1;\ -0{,}2)\). Calcule \(Df(a)(h)\), puis compare avec l’accroissement exact \(f(a+h) - f(a)\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, et justifie.

1. Une fonction de classe \(C^1\) est différentiable.
2. Si les dérivées partielles de \(f\) existent en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
3. La différentielle \(Df(a)\) est une application linéaire.

5 Hessienne en un point ★★★

Soit \(f(x,y) = x^2y + y^3\). Calcule sa Hessienne en \((1,1)\) puis son déterminant et sa trace.

6 Un point critique ★★★

Trouve le point critique de \(f(x,y) = x^2 + xy + y^2 - 3x\) et détermine sa nature.

7 Température et direction ★★★

Dans une serre, la température (en °C) au point \((x,y)\) du sol vaut \(T(x,y) = 20 - x^2 - 2y^2\). Au point \((1,1)\), un capteur se déplace dans la direction du vecteur unitaire \(u = (\tfrac35, \tfrac45)\). Calcule la dérivée directionnelle \(D_uT(1,1)\).

8 Règle de la chaîne ★★★

Soit \(f(x,y) = (x^2 - y,\ xy)\) et \(g(u,v) = u^2 + 3uv\). On pose \(h = g \circ f\). Calcule \(\nabla h(1,2)\) à l’aide des jacobiennes, sans développer \(h\).

9 Jacobienne polaire ★★★

Soit \(\Phi(r,\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)\). Calcule \(J_\Phi\), son déterminant, puis sa valeur en \((2, \pi/6)\).

10 Taylor d’un logarithme ★★★

Écris le développement de Taylor–Young à l’ordre 2 en \((0,0)\) de \(f(x,y) = \ln(1 + x + 2y)\).

11 Estimer une valeur ★★★

Soit \(f(x,y) = \sin x \; e^y\). Donne l’approximation de Taylor d’ordre 2 en \((0,0)\), puis estime \(f(0{,}1;\ 0{,}2)\).

12 Nature de deux points critiques ★★★

Étudie les points critiques de \(f(x,y) = x^3 - 3x + y^2\).

13 Inversion locale en un point ★★★

Soit \(f(x,y) = (x^2 + y,\ x + y^2)\). Montre que \(f\) est localement inversible au voisinage de \((1,1)\), calcule \(f(1,1)\) et la jacobienne de l’inverse local en ce point image. Pour quels points le théorème ne s’applique-t-il pas ?

14 Une dérivée implicite ★★★

Montre que l’équation \(x^2y + y^3 = 2\) définit \(y\) comme fonction de \(x\) près de \((1,1)\), calcule \(\varphi’(1)\) et estime \(\varphi(1{,}1)\).

15 Dérivées partielles sans différentiabilité ★★★

Soit \(f(x,y) = \dfrac{x^2y}{x^2+y^2}\) pour \((x,y) \neq (0,0)\) et \(f(0,0) = 0\). Montre que \(f\) est continue en \((0,0)\), qu’elle y admet des dérivées partielles, mais qu’elle n’y est pas différentiable.

16 Distance minimale à un plan ★★★

Trouve le point du plan \(x + 2y + 3z = 14\) le plus proche de l’origine, par la méthode de Lagrange appliquée à \(f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2\).

17 Boîte de surface fixée ★★★

Une boîte parallélépipédique de dimensions \(x, y, z > 0\) a une surface totale de \(54\) dm². Détermine ses dimensions pour que son volume \(V = xyz\) soit maximal.

18 Une dérivée seconde implicite ★★★

Le folium \(x^3 + y^3 = 3xy\) passe par \((\tfrac32, \tfrac32)\). Montre qu’il y est le graphe d’une fonction \(\varphi\), calcule \(\varphi’(\tfrac32)\) puis \(\varphi’’(\tfrac32)\), et interprète.

19 Plans tangents d’un hyperboloïde ★★★

Soit \(M = \{(x,y,z) : x^2 + y^2 - z^2 = 1\}\). Montre que \(M\) est une surface (sous-variété de dimension 2) et donne son plan tangent en \((1,1,1)\) puis en \((1,0,0)\).

20 Quand la Hessienne ne conclut pas ★★★

Les fonctions \(f(x,y) = x^2 + y^4\) et \(g(x,y) = x^2 - y^4\) ont toutes deux \((0,0)\) pour point critique. Calcule leur Hessienne en ce point, puis détermine par une étude directe la nature du point critique pour chacune.

21 Inverse local à l’ordre 2 ★★★

Soit \(f(x,y) = (x + y^2,\ y + x^2)\). Montre que \(f\) est un difféomorphisme local en \((0,0)\) et détermine le développement à l’ordre 2 de son inverse local \(g(u,v) = (x,y)\).

22 Extrema globaux sur un disque ★★★

Détermine le maximum et le minimum de \(f(x,y) = x^2y\) sur le disque fermé \(D = \{x^2 + y^2 \le 3\}\).