Calcul différentiel dans Rn : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Différentielle et approximation / 4 pts

1. \(J_f = \begin{pmatrix} e^y & xe^y \\ 2x & 1 \end{pmatrix}\) (1 pt). En \((2,0)\) : \(J_f(2,0) = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}\) (1 pt).
2. \(f(2,0) = (2,4)\) et \(h = (0{,}1;\ -0{,}1)\) (0,5 pt). \(J_f(2,0)\,h = (0{,}1 - 0{,}2,\ 0{,}4 - 0{,}1) = (-0{,}1;\ 0{,}3)\) (1 pt). Donc \(f(2{,}1;\ -0{,}1) \approx (1{,}9;\ 4{,}3)\) (0,5 pt). Pour comparaison, la valeur exacte est \((1{,}9002;\ 4{,}31)\).

2 Extrema libres / 4 pts

\(\nabla f = (6x^2 - 6y,\ -6x + 6y)\) (1 pt). Il est nul si \(y = x^2\) et \(y = x\), donc \(x = x^2\), soit \(x \in \{0, 1\}\) : points \((0,0)\) et \((1,1)\) (1 pt).

\(H_f = \begin{pmatrix} 12x & -6 \\ -6 & 6 \end{pmatrix}\) (0,5 pt).

En \((0,0)\) : \(\det = -36 < 0\), point selle (0,75 pt).

En \((1,1)\) : \(\det = 72 - 36 = 36 > 0\) et \(\mathrm{tr} = 18 > 0\), minimum local de valeur \(f(1,1) = 2 - 6 + 3 = -1\) (0,75 pt).

3 Inversion locale / 3 pts

\(f\) est polynomiale, donc \(C^1\) (0,5 pt). \(J_f = \begin{pmatrix} 1 + 2x & 1 \\ 1 & -1 + 2y \end{pmatrix}\), donc \(J_f(1,1) = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) de déterminant \(2 \neq 0\) (1 pt). D’après le théorème d’inversion locale, \(f\) est inversible près de \((1,1)\) (0,5 pt).

\(f(1,1) = (3,1)\) et \(D(f^{-1})(3,1) = \tfrac12\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}\) (1 pt).

4 Fonction implicite / 4 pts

1. \(F\) est \(C^1\) et \(F(1,1) = 0\). \(F_y = x + 3y^2\) vaut \(4 \neq 0\) en \((1,1)\) (1 pt). Le théorème des fonctions implicites donne \(\varphi\) (0,5 pt).
2. \(F_x = 2x + y = 3\) en \((1,1)\) (0,5 pt), donc \(\varphi’(1) = -\tfrac34\) (1 pt). Tangente : \(y = 1 - \tfrac34(x - 1)\) (0,5 pt).
3. \(\varphi(1{,}04) \approx 1 - \tfrac34 \times 0{,}04 = 0{,}97\) (0,5 pt).

5 Extrema liés / 5 pts

Posons \(g = x^2 + 4y^2 - 8\) ; \(\nabla g = (2x, 8y)\) ne s’annule qu’en \((0,0) \notin \mathcal{E}\) : \(\mathcal{E}\) est une sous-variété (1 pt).

Condition de Lagrange : \((y, x) = \lambda(2x, 8y)\), soit \(y = 2\lambda x\) et \(x = 8\lambda y\) (1 pt). En combinant, \(x = 16\lambda^2 x\) ; comme \(x = 0\) donnerait \(y = 0\), impossible, \(\lambda = \pm\tfrac14\) (1 pt).

Si \(\lambda = \tfrac14\) : \(y = \tfrac x2\) et \(x^2 + x^2 = 8\), donc \(x = \pm2\) : points \((2,1)\), \((-2,-1)\) avec \(f = 2\). Si \(\lambda = -\tfrac14\) : \(y = -\tfrac x2\), points \((2,-1)\), \((-2,1)\) avec \(f = -2\) (1 pt).

\(\mathcal{E}\) est compacte et \(f\) continue : les extrema existent, donc le maximum est \(2\) et le minimum est \(-2\) (1 pt).