Limites et continuité : exercices de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Limites de fractions rationnelles ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x^3 - x}{2x^3 + 5}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \dfrac{7x^2 + x}{x^2 - 1}\).

2 Limite à gauche, limite à droite ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{x-2}{|x-2|}\) pour \(x \neq 2\). Calcule la limite à gauche et la limite à droite de \(f\) en \(2\). \(f\) admet-elle une limite en \(2\) ?

3 Raccorder deux morceaux ★★★

On définit \(f(x) = x^2 + 1\) si \(x \leqslant 1\) et \(f(x) = ax + 3\) si \(x \gt 1\). Détermine le réel \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).

4 Vrai ou faux ? ★★★

Dis si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. Si \(f\) est continue en \(a\), alors \(f\) admet une limite finie en \(a\).
2. Si \(f\) est définie en \(a\) et admet une limite finie en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
3. Si \(f\) est continue sur \([0,1]\) avec \(f(0) \lt 0 \lt f(1)\), alors \(f\) s’annule sur \(]0,1[\).
4. La fonction \(x \mapsto 1/x\) atteint ses bornes sur \(]0,1]\).

5 Trois solutions ★★★

Montre que l’équation \(x^3 - 4x + 1 = 0\) possède au moins une solution dans chacun des intervalles \(]-3,-2[\), \(]0,1[\) et \(]1,2[\). Combien de solutions réelles a-t-elle exactement ?

6 Équivalents simples ★★★

Donne un équivalent simple : a) \(3x^4 - x^2 + 2\) en \(+\infty\) ; b) \(\sin(5x)\) en \(0\) ; c) \(1 - \cos x\) en \(0\) ; d) \(\ln(1 + 4x)\) en \(0\). En déduire \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\sin(5x)}{\ln(1+4x)}\).

7 Une fonction à sauts ★★★

Soit \(g(x) = x\lfloor x \rfloor\) sur \([0,4]\) (où \(\lfloor x \rfloor\) est la partie entière). Étudie la continuité de \(g\) en \(3\), à gauche puis à droite, en t’aidant du graphe : les segments sont ouverts à leur extrémité droite.

8 Une racine carrée conjuguée ★★★

Calcule \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 4x} - x\right)\).

9 Encadrement ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{3x + \cos x}{x - 1}\) pour \(x \gt 1\). Montre que \(f\) tend vers \(3\) en \(+\infty\).

10 Prolonger par continuité ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}\) pour \(x \geqslant -9\) et \(x \neq 0\). Montre que \(f\) se prolonge par continuité en \(0\) et donne la valeur du prolongement.

11 Limites et équivalents ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{\ln(1 + 3x)}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x \sin x}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\tan(3x)}{\sin x}\).

12 Un point fixe du cosinus ★★★

Montre que l’équation \(\cos x = x\) a une unique solution dans \([0,1]\), puis encadre-la entre deux décimaux à \(0{,}1\) près.

13 Une bijection et sa réciproque ★★★

Soit \(f(x) = x^3 + 2x\). Montre que \(f\) est une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\), puis donne \(f^{-1}(3)\), \(f^{-1}(12)\) et \(f^{-1}(-3)\). Explique la symétrie des courbes sur la figure.

14 Image d’un segment ★★★

Soit \(f(x) = \dfrac{x}{1 + x^2}\). Détermine l’image de \([0,3]\) par \(f\), puis l’image de \([0,+\infty[\) et celle de \(\mathbb{R}\).

15 Deux points à même température ★★★

La température \(f(t)\) est relevée en continu pendant une journée entière, \(t \in [0,1]\) (unité : la journée), et \(f(0) = f(1)\). Montre qu’il existe deux instants séparés d’une demi-journée où la température est la même.

16 Périodique et limite finie ★★★

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) continue et \(T\)-périodique (\(T \gt 0\)).

1. On suppose que \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(+\infty\). Montre que \(f\) est constante.
2. En déduire que \(\cos\) n’a pas de limite en \(+\infty\).
3. Soit \(h\) continue sur \([0,+\infty[\) avec une limite finie en \(+\infty\). Montre que \(h\) est bornée.

17 Racine carrée et carré ★★★

1. Montre que pour \(x \geqslant y \geqslant 0\), \(\sqrt{x} - \sqrt{y} \leqslant \sqrt{x - y}\). En déduire que \(\sqrt{\ }\) est uniformément continue sur \([0,+\infty[\).
2. Montre que \(x \mapsto x^2\) est lipschitzienne sur \([0,3]\), de rapport \(6\).
3. Montre que \(x \mapsto x^2\) n’est pas uniformément continue sur \(\mathbb{R}\).

18 L’inverse n’est pas uniforme ★★★

1. Montre que \(x \mapsto 1/x\) est continue sur \(]0,1]\) mais n’y est pas uniformément continue (indice : \(x_n = \tfrac1n\) et \(y_n = \tfrac{1}{2n}\)).
2. Montre qu’elle est lipschitzienne sur \([\tfrac12, 1]\) et donne un rapport.

19 Limites exponentielles ★★★

Calcule : a) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 + \dfrac2x\right)^{3x}\) ; b) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(1 - \dfrac1x\right)^{x}\) ; c) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{x^2 + 1} - x\right)\).

20 Les racines de x³ − 3x + 1 ★★★

1. Dresse le tableau de variations de \(f(x) = x^3 - 3x + 1\) et montre, avec le théorème de la bijection, que \(f(x) = 0\) a exactement trois solutions \(\alpha \lt \beta \lt \gamma\). Localise-les dans \(]-2,-1[\), \(]0,1[\) et \(]1,2[\).
2. En posant \(x = 2\cos\theta\) avec \(\theta \in\, ]0,\pi[\), donne les valeurs exactes de ces trois solutions.

21 Continue et injective ★★★

Soit \(f\) continue sur un intervalle \(I\). On suppose qu’il existe \(a \lt b \lt c\) dans \(I\) avec \(f(b) \gt \max(f(a), f(c))\).

1. Choisis un réel \(y\) avec \(\max(f(a),f(c)) \lt y \lt f(b)\) et montre que \(f\) prend la valeur \(y\) en deux points distincts.
2. Conclus : une fonction continue et injective sur un intervalle n’a pas de « bosse » intérieure.
3. Vérifie que \(x \mapsto x^3 - 3x\) n’est pas injective sur \([-2,2]\).