Applications et dénombrement : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Est-ce une application ? ★★★

1. Non : \(0\) n’a pas d’image.
2. Oui : \(x^2 + 1\) est défini pour tout réel et la valeur est unique.
3. Non : \(\sqrt{x}\) n’existe pas pour \(x < 0\), par exemple \(x = -4\).
4. Oui : tout réel positif possède une racine carrée positive unique.

2 Lire un diagramme ★★★

Les éléments \(1\) et \(2\) ont la même image \(b\) : \(f\) n’est pas injective.

L’élément \(c\) de \(F\) ne reçoit aucune flèche : \(f\) n’est pas surjective.

3 Images et antécédents ★★★

\(f(-2) = 8 - 3 = 5\), \(f(0) = -3\), \(f(1) = -1\), \(f(3) = 18 - 3 = 15\). Donc \(f(\{-2, 0, 1, 3\}) = \{-3, -1, 5, 15\}\).

\(2x^2 - 3 = 5 \Leftrightarrow x^2 = 4\), donc \(f^{-1}(\{5\}) = \{-2, 2\}\). De même \(2x^2 - 3 = -3 \Leftrightarrow x = 0\), donc \(f^{-1}(\{-3\}) = \{0\}\).

4 Deux clubs ★★★

Avec la formule d’inclusion-exclusion : \(|G \cup P| = 24 + 17 - 9 = 32\).

Il y a donc \(32\) musiciens et \(40 - 32 = 8\) élèves qui ne jouent d’aucun des deux instruments.

5 Calculs de base ★★★

\(\dbinom{8}{3} = \dfrac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56\) ; \(A_8^3 = 8 \times 7 \times 6 = 336\) ; \(\dbinom{10}{2} = \dfrac{10 \times 9}{2} = 45\) ; \(\dbinom{9}{8} = \dbinom{9}{1} = 9\) ; \(\dbinom{7}{0} = 1\) ; \(5! = 120\).

6 Un développement ★★★

Les coefficients sont \(\dbinom{4}{k}\) : \(1, 4, 6, 4, 1\). Donc \((x + y)^4 = x^4 + 4x^3 y + 6x^2 y^2 + 4x y^3 + y^4\).

7 Jours de la semaine ★★★

Il y a \(30\) personnes pour \(7\) jours : \(30 > 7\), donc deux personnes au moins sont nées le même jour (principe des tiroirs).

Plus précisément, \(\left\lceil \dfrac{30}{7} \right\rceil = 5\) : un même jour compte au moins \(5\) personnes (si chaque jour en avait au plus \(4\), on aurait au plus \(28 < 30\) personnes).

8 Une bijection affine ★★★

Soit \(y \in \mathbb{R}\). L’équation \(5x - 7 = y\) équivaut à \(x = \dfrac{y + 7}{5}\), qui existe et est unique dans \(\mathbb{R}\). Tout \(y\) a donc exactement un antécédent : \(f\) est bijective.

Sa réciproque est \(f^{-1}(y) = \dfrac{y + 7}{5}\).

9 Un trinôme ★★★

1. \(f(0) = 0 = f(4)\) avec \(0 \neq 4\) : non injective. Comme \(f(x) = (x - 2)^2 - 4 \ge -4\), le réel \(-5\) n’a pas d’antécédent : non surjective.
2. Pour \(y \ge -4\), \((x - 2)^2 = y + 4\) donne \(x = 2 \pm \sqrt{y + 4}\) ; la condition \(x \ge 2\) impose le signe plus. L’antécédent \(x = 2 + \sqrt{y + 4}\) existe et est unique : \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = 2 + \sqrt{y + 4}\).

10 Images directes et réciproques ★★★

Sur \([-3\,;\,1]\), \(f\) prend la valeur minimale \(0\) (en \(0\)) et la valeur maximale \(f(-3) = 9\) ; elle est continue donc \(f([-3\,;\,1]) = [0\,;\,9]\).

\(4 \le x^2 \le 9 \Leftrightarrow 2 \le |x| \le 3\), donc \(f^{-1}([4\,;\,9]) = [-3\,;\,-2] \cup [2\,;\,3]\).

Un carré n’est jamais négatif : \(f^{-1}([-5\,;\,-1]) = \varnothing\).

11 Sur les entiers relatifs ★★★

\(g\) : si \(n + 3 = m + 3\) alors \(n = m\) ; et pour \(k \in \mathbb{Z}\), \(k - 3 \in \mathbb{Z}\) est un antécédent. \(g\) est bijective, de réciproque \(k \mapsto k - 3\).

\(h\) : si \(2n + 1 = 2m + 1\) alors \(n = m\), donc \(h\) est injective. Mais \(2n + 1\) est toujours impair : \(0\) n’a pas d’antécédent, \(h\) n’est pas surjective.

12 Composer ★★★

\((g \circ f)(x) = 3(x + 2) - 1 = 3x + 5\) et \((f \circ g)(x) = (3x - 1) + 2 = 3x + 1\) : les deux composées diffèrent.

De \(y = 3x + 5\), on tire \((g \circ f)^{-1}(y) = \dfrac{y - 5}{3}\). Par ailleurs \(g^{-1}(y) = \dfrac{y + 1}{3}\) et \(f^{-1}(z) = z - 2\), donc \((f^{-1} \circ g^{-1})(y) = \dfrac{y + 1}{3} - 2 = \dfrac{y - 5}{3}\). Les deux expressions coïncident.

13 Codes sans répétition ★★★

L’ordre compte et les chiffres sont distincts : \(A_{10}^4 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 = 5040\) codes.

Avec répétitions : \(10^4 = 10\,000\) codes (applications de \(\{1,2,3,4\}\) dans les dix chiffres).

14 Comité et présidence ★★★

Première façon. On choisit les \(4\) membres : \(\dbinom{12}{4} = 495\), puis le président parmi eux : \(4\) choix. Total : \(495 \times 4 = 1980\).

Seconde façon. On choisit d’abord le président : \(12\) choix, puis les \(3\) autres membres parmi les \(11\) restants : \(\dbinom{11}{3} = 165\). Total : \(12 \times 165 = 1980\). Les deux méthodes donnent bien le même résultat.

15 Image directe d’une intersection ★★★

1. Si \(y \in f(A \cap B)\), alors \(y = f(x)\) avec \(x \in A\) et \(x \in B\), donc \(y \in f(A)\) et \(y \in f(B)\).
2. \(A \cap B = \{0\}\), donc \(f(A \cap B) = \{0\}\). Mais \(f(A) = [0\,;\,4] = f(B)\), donc \(f(A) \cap f(B) = [0\,;\,4]\), strictement plus grand.
3. Soit \(y \in f(A) \cap f(B)\) : \(y = f(a) = f(b)\) avec \(a \in A\), \(b \in B\). Par injectivité \(a = b\), donc \(a \in A \cap B\) et \(y \in f(A \cap B)\).

16 Une homographie ★★★

Pour \(x \neq -2\), \(f(x)\) existe. Si \(f(x) = 3\), alors \(3x + 1 = 3x + 6\), ce qui est impossible : \(f\) prend bien ses valeurs dans \(\mathbb{R} \setminus \{3\}\).

Soit \(y \neq 3\). \(y = \dfrac{3x + 1}{x + 2} \Leftrightarrow y(x + 2) = 3x + 1 \Leftrightarrow x(y - 3) = 1 - 2y \Leftrightarrow x = \dfrac{1 - 2y}{y - 3}\). Cet \(x\) n’est pas \(-2\) : \(\dfrac{1 - 2y}{y - 3} = -2\) donnerait \(1 = 6\). Il y a donc un unique antécédent, \(f\) est bijective et \(f^{-1}(y) = \dfrac{1 - 2y}{y - 3}\).

Contrôle : \(f(0) = \dfrac12\) et \(f^{-1}\left(\dfrac12\right) = \dfrac{1 - 1}{-5/2} = 0\).

17 Composée injective ★★★

1. Si \(f(x) = f(x')\), alors \(g(f(x)) = g(f(x'))\), donc \((g \circ f)(x) = (g \circ f)(x')\) et \(x = x'\).
2. \((g \circ f)(1) = g(a) = 1\) et \((g \circ f)(2) = g(b) = 2\) : images distinctes, donc \(g \circ f = \mathrm{id}_E\) est injective. Mais \(g(a) = g(c) = 1\) avec \(a \neq c\) : \(g\) n’est pas injective.

18 Compter des applications ★★★

1. Chaque élément de \(E\) a \(6\) images possibles : \(6^4 = 1296\) applications. Pour une injection, les images sont distinctes : \(A_6^4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360\).
2. Il y a \(3^5 = 243\) applications. On retire celles qui manquent au moins un élément : \(3\) façons d’en exclure un, chacune avec \(2^5 = 32\) applications, puis on rajoute celles qui en manquent deux (\(3\) façons, \(1\) application chacune). Surjections : \(243 - 3 \times 32 + 3 \times 1 = 150\).

19 Terme constant ★★★

Le terme général est \(\dbinom{9}{k} (x^2)^{9-k} \left(\dfrac1x\right)^k = \dbinom{9}{k} x^{18 - 3k}\). Il est constant si \(18 - 3k = 0\), soit \(k = 6\). Le terme constant vaut \(\dbinom{9}{6} = \dbinom{9}{3} = 84\).

Avec \(a = b = 1\) : \(\sum_{k=0}^{10} \dbinom{10}{k} = 2^{10} = 1024\). Avec \(a = 1\), \(b = -1\) : \(\sum_{k=0}^{10} (-1)^k \dbinom{10}{k} = (1 - 1)^{10} = 0\).

20 Points dans un carré ★★★

Découpons le carré en \(4\) petits carrés de côté \(1\) (les tiroirs). Cinq points dans quatre carrés : deux points au moins sont dans le même petit carré.

La distance entre deux points d’un carré de côté \(1\) est au plus la longueur de sa diagonale, \(\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\). Ces deux points conviennent.

21 Mains de cartes ★★★

1. \(\dbinom{32}{5} = 201\,376\).
2. On choisit \(2\) cœurs parmi \(8\) et \(3\) cartes parmi les \(24\) non-cœurs : \(\dbinom{8}{2} \times \dbinom{24}{3} = 28 \times 2024 = 56\,672\).
3. On passe au complémentaire : les mains sans as sont prises parmi \(28\) cartes, soit \(\dbinom{28}{5} = 98\,280\). Il y en a donc \(201\,376 - 98\,280 = 103\,096\) avec au moins un as.