Applications et dénombrement : exercices de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Est-ce une application ? ★★★

Dites, en justifiant, si chaque définition est une application.

1. \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = \dfrac{1}{x}\).
2. \(g : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(g(x) = x^2 + 1\).
3. \(h : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(h(x) = \sqrt{x}\).
4. \(k : \mathbb{R}_+ \to \mathbb{R}\), \(k(x) = \sqrt{x}\).

2 Lire un diagramme ★★★

Voici une application \(f\) de \(E = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) dans \(F = \{a, b, c, d\}\).

Est-elle injective ? surjective ? Justifiez.

3 Images et antécédents ★★★

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 2x^2 - 3\). Calculez \(f(\{-2, 0, 1, 3\})\), puis \(f^{-1}(\{5\})\) et \(f^{-1}(\{-3\})\).

4 Deux clubs ★★★

Dans un lycée de \(40\) élèves, \(24\) font de la guitare, \(17\) du piano et \(9\) pratiquent les deux. Combien d’élèves font au moins un des deux instruments ? Combien n’en font aucun ?

5 Calculs de base ★★★

Calculez \(\dbinom{8}{3}\), \(A_8^3\), \(\dbinom{10}{2}\), \(\dbinom{9}{8}\), \(\dbinom{7}{0}\) et \(5!\).

6 Un développement ★★★

Développez \((x + y)^4\) avec la formule du binôme.

7 Jours de la semaine ★★★

Dans un groupe de \(30\) personnes, montrez que deux au moins sont nées le même jour de la semaine. Que peut-on dire de plus ?

8 Une bijection affine ★★★

Montrez que \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = 5x - 7\) est bijective et déterminez \(f^{-1}\).

9 Un trinôme ★★★

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2 - 4x\).

1. \(f\) est-elle injective ? surjective ?
2. Montrez que \(f\) restreinte à \([2\,;\,+\infty[\) au départ et à \([-4\,;\,+\infty[\) à l’arrivée est bijective et donnez sa réciproque.

10 Images directes et réciproques ★★★

Soit \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\), \(f(x) = x^2\). Déterminez \(f([-3\,;\,1])\), \(f^{-1}([4\,;\,9])\) et \(f^{-1}([-5\,;\,-1])\).

11 Sur les entiers relatifs ★★★

Étudiez l’injectivité et la surjectivité de \(g : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(g(n) = n + 3\) et de \(h : \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\), \(h(n) = 2n + 1\).

12 Composer ★★★

Soient \(f(x) = x + 2\) et \(g(x) = 3x - 1\) de \(\mathbb{R}\) dans \(\mathbb{R}\). Calculez \(g \circ f\) et \(f \circ g\). Vérifiez que \((g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}\).

13 Codes sans répétition ★★★

Un cadenas utilise un code à \(4\) chiffres (de \(0\) à \(9\)). Combien y a-t-il de codes dont les quatre chiffres sont tous différents ? Combien de codes en tout, répétitions permises ?

14 Comité et présidence ★★★

Dans un groupe de \(12\) personnes, on forme un comité de \(4\) membres dont l’un est le président. Comptez les comités de deux façons.

15 Image directe d’une intersection ★★★

Soit \(f : E \to F\), \(A, B \subset E\).

1. Montrez toujours \(f(A \cap B) \subset f(A) \cap f(B)\).
2. Avec \(f(x) = x^2\) sur \(\mathbb{R}\), \(A = [-2\,;\,0]\), \(B = [0\,;\,2]\), montrez que l’inclusion peut être stricte.
3. Montrez qu’il y a égalité si \(f\) est injective.

16 Une homographie ★★★

Soit \(f : \mathbb{R} \setminus \{-2\} \to \mathbb{R} \setminus \{3\}\), \(f(x) = \dfrac{3x + 1}{x + 2}\). Montrez que \(f\) est bien définie, bijective, et calculez \(f^{-1}\). Contrôlez avec \(f(0)\).

17 Composée injective ★★★

Soient \(f : E \to F\) et \(g : F \to G\) telles que \(g \circ f\) est injective.

1. Montrez que \(f\) est injective.
2. Avec \(E = \{1, 2\}\), \(F = \{a, b, c\}\), \(f(1) = a\), \(f(2) = b\), \(g(a) = 1\), \(g(b) = 2\), \(g(c) = 1\), montrez que \(g \circ f\) est injective sans que \(g\) le soit.

18 Compter des applications ★★★

Soit \(E\) un ensemble à \(4\) éléments et \(F\) un ensemble à \(6\) éléments.

1. Combien d’applications de \(E\) dans \(F\) ? Combien d’injections ?
2. Combien d’applications surjectives d’un ensemble à \(5\) éléments sur un ensemble \(\{a, b, c\}\) ? Indication : inclusion-exclusion.

19 Terme constant ★★★

Déterminez le terme constant du développement de \(\left(x^2 + \dfrac{1}{x}\right)^9\). Calculez aussi \(\sum_{k=0}^{10} \dbinom{10}{k}\) et \(\sum_{k=0}^{10} (-1)^k \dbinom{10}{k}\).

20 Points dans un carré ★★★

On place \(5\) points dans un carré de côté \(2\). Montrez que deux d’entre eux sont à une distance inférieure ou égale à \(\sqrt{2}\).

21 Mains de cartes ★★★

On tire une main de \(5\) cartes dans un jeu de \(32\) cartes (\(4\) couleurs, \(8\) cartes par couleur, \(4\) as). Combien de mains : (a) en tout ? (b) avec exactement \(2\) cœurs ? (c) avec au moins un as ?