Algorithmique et Python : exercices corrigés de maths 1ère à télécharger en PDF

1 Lire une boucle for ★★★

Comme range(1, 6) donne \(k = 1, 2, 3, 4, 5\), la boucle s’exécute 5 fois.

Le programme affiche 30. Il calcule \(2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30\), la somme des cinq premiers nombres pairs strictement positifs, c’est-à-dire \(2 \times (1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 2 \times 15\).

2 Une fonction avec conditions ★★★

1. Pour \(t = -3\) : \(-3 \lt 0\), donc la fonction renvoie "gel". Pour \(t = 25\) : \(25 \lt 0\) est faux, mais \(25 \le 25\) est vrai, donc "doux". Pour \(t = 31\) : les deux tests sont faux, on arrive au else et on obtient "chaud".
2. Le else est exécuté quand toutes les conditions précédentes sont fausses, c’est-à-dire quand \(t \gt 25\). Il suffit donc de ne rien préciser.

3 Évaluer une fonction Python ★★★

1. \(f(2) = 3 \times 4 - 4 = 8\) ; \(f(-3) = 3 \times 9 - 4 = 23\) ; \(f(0{,}5) = 3 \times 0{,}25 - 4 = -3{,}25\).
2. On écrit :

def g(x):
    return 5 - 2*x

\(g(4) = 5 - 8 = -3\).

4 Indices et méthodes des listes ★★★

1. Les indices commencent à 0 : L[0] = 4, L[2] = 1 et len(L) = 4.
2. La méthode append ajoute à la fin : L = [4, 9, 1, 7, 10]. Alors \(\text{sum}(L) = 4 + 9 + 1 + 7 + 10 = 31\) et \(\text{max}(L) = 10\).

5 Les termes d’une suite arithmétique ★★★

1. La boucle ajoute 5 quatre fois : \(12 \to 17 \to 22 \to 27 \to 32\). Le programme affiche 32.
2. C’est la suite arithmétique de premier terme \(u_0 = 12\) et de raison 5 : \(u_n = 12 + 5n\). On a bien \(u_4 = 12 + 20 = 32\).
3. Il suffit de remplacer range(4) par range(20). On obtient \(u_{20} = 12 + 5 \times 20 = 112\).

6 Vrai ou faux autour de range ★★★

1. Vrai : on obtient 3, 4, 5, 6, 7, soit 5 valeurs (la borne 8 est exclue).
2. Faux : range(5) donne 0, 1, 2, 3, 4.
3. Vrai : on part de 2 et on avance de 3 en 3 sans atteindre 10 : 2, 5, 8.
4. Faux : i prend les valeurs 1 à 9, la boucle s’exécute 9 fois.

7 Suivi d’une boucle while ★★★

1. On part de 1, puis \(3,\ 9,\ 27,\ 81\).
2. Le bloc est exécuté 4 fois et la valeur finale est \(n = 81\).
3. Après le quatrième tour, \(81 \lt 50\) est faux : la condition n’est plus vraie, la boucle s’arrête.

8 Une culture de bactéries ★★★

1. Une augmentation de 12 % multiplie par \(1{,}12\). On continue tant que le seuil n’est pas dépassé :

b = 500
h = 0
while b <= 2000:
    b = b * 1.12
    h = h + 1
print(h)

2. On cherche le plus petit \(h\) tel que \(500 \times 1{,}12^h \gt 2000\), soit \(1{,}12^h \gt 4\). Or \(500 \times 1{,}12^{12} \approx 1948 \lt 2000\) et \(500 \times 1{,}12^{13} \approx 2182 \gt 2000\). Le programme affiche 13 : la culture dépasse 2000 bactéries au bout de 13 heures.

9 Somme de onze termes ★★★

1. range(11) donne \(k = 0, 1, \dots, 10\) : on additionne 11 termes, de \(u_0\) à \(u_{10}\).
2. Les termes sont \(1,\ -1,\ -1,\ 1,\ 5,\ 11,\ 19,\ 29,\ 41,\ 55,\ 71\). Les sommes successives sont \(1, 0, -1, 0, 5, 16, 35, 64, 105, 160, 231\). Le programme affiche 231.

10 Compréhensions de listes ★★★

1. \(k\) va de 1 à 6 : A = [1, 4, 9, 16, 25, 36].
2. On garde les éléments dont le reste par 2 est nul, c’est-à-dire les nombres pairs : B = [8, 12, 10].
3. \(k\) va de 0 à 4 : C = [1, 3, 5, 7, 9], les cinq premiers nombres impairs.

11 Dichotomie à la main pour √7 ★★★

1. \(f(2) = -3 \lt 0\) et \(f(3) = 2 \gt 0\).
2. On garde l’intervalle où \(f\) change de signe :

3. La solution positive de \(x^2 = 7\) est \(\sqrt{7}\), donc \(2{,}625 \lt \sqrt{7} \lt 2{,}6875\), avec une amplitude de \(0{,}0625 = \dfrac{1}{2^4}\).

12 Taux d’accroissement de x³ ★★★

1. Pour \(h = 0{,}1\) : \(\dfrac{1{,}331 - 1}{0{,}1} = 3{,}31\) ; pour \(h = 0{,}01\) : \(\dfrac{1{,}030301 - 1}{0{,}01} = 3{,}0301\) ; pour \(h = 0{,}001\) : \(3{,}003001\). (Python peut afficher quelques décimales parasites en fin de nombre.)
2. Les valeurs se rapprochent de 3 : on conjecture \(f'(1) = 3\).
3. \((1+h)^3 - 1 = 3h + 3h^2 + h^3\), donc le taux vaut \(3 + 3h + h^2\), qui tend vers 3 quand \(h\) tend vers 0. Ainsi \(f'(1) = 3\).

13 Cinq épreuves à pile ou face ★★★

1. Cinq épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre 0,5 : \(X\) suit la loi binomiale \(\mathcal{B}(5\,;\,0{,}5)\) et \(E(X) = 5 \times 0{,}5 = 2{,}5\).
2. \(P(X = 2) = \dbinom{5}{2} \times 0{,}5^2 \times 0{,}5^3 = \dfrac{10}{32} = 0{,}3125\). L’événement contraire de \(X \ge 1\) est \(X = 0\) : \(P(X \ge 1) = 1 - 0{,}5^5 = 1 - \dfrac{1}{32} = \dfrac{31}{32} = 0{,}96875\).

14 Une suite qui se rapproche de 2 ★★★

1. \(u_1 = 1{,}5\), \(u_2 = 1{,}75\), \(u_3 = 1{,}875\).
2. C’est le plus petit rang \(n\) tel que l’écart \(2 - u_n\) soit strictement inférieur à \(0{,}01\).
3. \(2 - u_{n+1} = 2 - \dfrac{u_n}{2} - 1 = 1 - \dfrac{u_n}{2} = \dfrac{2 - u_n}{2}\) : l’écart est divisé par 2 à chaque rang, et \(2 - u_0 = 1\), donc \(2 - u_n = \dfrac{1}{2^n}\). On cherche \(2^n \gt 100\) : \(2^6 = 64\) est insuffisant, \(2^7 = 128\) convient. Le programme affiche 7.

15 Moyenne d’une liste de notes ★★★

1. Le total vaut \(13 + 8 + 16 + 11 + 7 = 55\) et la liste a 5 éléments : la fonction renvoie \(55 / 5 = 11{,}0\).
2. On compte avec une boucle :

def au_dessus(L):
    m = moyenne(L)
    c = 0
    for x in L:
        if x > m:
            c = c + 1
    return c

Sur la liste, seuls 13 et 16 dépassent 11 (la note 11 est égale à la moyenne, pas supérieure) : la fonction renvoie 2.

16 Dichotomie : combien d’étapes ? ★★★

1. \(f\) est continue, \(f(0) = 1 \gt 0\) et \(f(1) = -3 \lt 0\). De plus \(f'(x) = 3x^2 - 5\) et, sur \([0\,;\,1]\), \(3x^2 \le 3 \lt 5\), donc \(f'(x) \lt 0\) : \(f\) est strictement décroissante. Il y a donc une unique solution \(\alpha\).
2. \(f(0{,}5) = 0{,}125 - 2{,}5 + 1 = -1{,}375 \lt 0\) : \(\alpha \in [0\,;\,0{,}5]\). \(f(0{,}25) = 0{,}015625 - 1{,}25 + 1 = -0{,}234375 \lt 0\) : \(\alpha \in [0\,;\,0{,}25]\). \(f(0{,}125) \approx 0{,}377 \gt 0\) : \(\alpha \in [0{,}125\,;\,0{,}25]\).
3. Après \(n\) étapes l’amplitude est \(\dfrac{1}{2^n}\). Comme \(2^9 = 512\) donne \(0{,}00195\) (trop grand) et \(2^{10} = 1024\) donne \(0{,}00098 \lt 10^{-3}\), il faut 10 étapes.

17 Le plan d’entraînement du marathon ★★★

1. d est la distance de la semaine en cours, total la distance cumulée et n le nombre de semaines déjà comptées.
2. Les distances forment une suite géométrique de premier terme 10 et de raison \(1{,}1\). Après \(n\) semaines le total est \(10 \times \dfrac{1{,}1^n - 1}{0{,}1} = 100\,(1{,}1^n - 1)\). Pour \(n = 11\) on trouve environ \(185{,}3\) km (pas assez) et pour \(n = 12\) environ \(213{,}8\) km. Le programme affiche 12.

18 Estimer une probabilité par simulation ★★★

1. \(X\) suit \(\mathcal{B}(20\,;\,0{,}4)\) et \(E(X) = 20 \times 0{,}4 = 8\).
2. Il estime \(P(X \ge 10)\) par la fréquence des 5000 tirages où le nombre de succès atteint au moins 10. La valeur exacte est environ \(0{,}245\).
3. Non : chaque exécution tire de nouveaux nombres au hasard. Les résultats fluctuent autour de \(0{,}245\) et se rapprochent de cette valeur quand on augmente le nombre de répétitions.
4. \(P(X = 8) = \dbinom{20}{8} \times 0{,}4^8 \times 0{,}6^{12} \approx 0{,}180\), ce qui est cohérent avec \(E(X) = 8\), valeur la plus probable.

19 Dérivée de l’inverse par le calcul numérique ★★★

1. \(\dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2} = \dfrac{2 - (2+h)}{2(2+h)} = \dfrac{-h}{2(2+h)}\). En divisant par \(h\) on obtient \(-\dfrac{1}{2(2+h)}\).
2. Pour \(h = 0{,}01\) : \(-\dfrac{1}{4{,}02} \approx -0{,}2488\). On conjecture \(f'(2) = -\dfrac{1}{4} = -0{,}25\).
3. \(\dfrac{1}{2+h} - \dfrac{1}{2-h} = \dfrac{(2-h) - (2+h)}{4 - h^2} = \dfrac{-2h}{4 - h^2}\). Divisé par \(2h\), cela donne \(-\dfrac{1}{4 - h^2}\). Pour \(h = 0{,}1\) : première méthode \(-\dfrac{1}{4{,}2} \approx -0{,}2381\) (écart \(\approx 0{,}012\)) ; seconde méthode \(-\dfrac{1}{3{,}99} \approx -0{,}2506\) (écart \(\approx 0{,}0006\)). La seconde est bien plus précise.
4. \(y = f'(2)(x - 2) + f(2) = -\dfrac{1}{4}(x - 2) + \dfrac{1}{2}\), soit \(y = -\dfrac{1}{4}x + 1\).

20 Dichotomie pour exp(x) + x = 3 ★★★

1. \(f\) est dérivable avec \(f'(x) = \text{e}^x + 1 \gt 0\), donc strictement croissante. Comme \(f(0) = -2 \lt 0\) et \(f(1) = \text{e} - 2 \approx 0{,}718 \gt 0\), il existe une unique solution \(\alpha\) dans \([0\,;\,1]\).
2. \(f(0{,}5) \approx -0{,}851 \lt 0\) : \(\alpha \in [0{,}5\,;\,1]\). \(f(0{,}75) \approx -0{,}133 \lt 0\) : \(\alpha \in [0{,}75\,;\,1]\). \(f(0{,}875) \approx 0{,}274 \gt 0\) : \(\alpha \in [0{,}75\,;\,0{,}875]\).
3. L’amplitude est \(\dfrac{1}{2^{10}} = \dfrac{1}{1024} \approx 0{,}00098\).

21 Une boucle qui ne s’arrête jamais ★★★

1. Les nombres décimaux sont stockés en binaire avec une précision limitée : 0,1 n’est pas représenté exactement. Après dix additions de 0,1, x vaut \(0{,}9999999999999999\), différent de 1. La condition x != 1 reste vraie, x devient \(1{,}0999\dots\) puis grandit sans jamais valoir exactement 1 : la boucle est infinie.
2. Correction 1 : utiliser un compteur entier, avec for k in range(10) puis x = k / 10. Correction 2 : tester une inégalité, par exemple while x < 0.95 : on s’arrête après dix additions. En règle générale, on évite de tester l’égalité de deux nombres décimaux.

22 Quand la somme des inverses dépasse 3 ★★★

1. À chaque tour on augmente n de 1 puis on ajoute \(\dfrac{1}{n}\) à S : après chaque tour, S vaut \(S_n\). La boucle s’arrête dès que \(S_n \gt 3\) et le programme affiche le plus petit entier n qui convient.
2. \(S_4 = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{12 + 6 + 4 + 3}{12} = \dfrac{25}{12} \approx 2{,}083\).
3. \(S_{10} \approx 2{,}929 \le 3\) : la boucle continue. \(S_{11} = S_{10} + \dfrac{1}{11} \approx 2{,}929 + 0{,}091 = 3{,}020 \gt 3\) : la boucle s’arrête. Le programme affiche bien 11.