21 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Calculer des termes ★★★
Soit \(u_n = 3n^2 - 2n + 5\). Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).
2 Une suite par récurrence ★★★
Soit \(w_0 = 4\) et \(w_{n+1} = \dfrac{w_n}{2} + 3\). Calcule \(w_1\), \(w_2\) et \(w_3\).
3 Arithmétique, géométrique ou ni l’une ni l’autre ? ★★★
Pour chaque liste, dis si les premiers termes semblent former une suite arithmétique, géométrique, ou aucune des deux.
- 5 ; 9 ; 13 ; 17
- 2 ; 6 ; 18 ; 54
- 1 ; 4 ; 9 ; 16
4 Vrai ou faux ? ★★★
Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifie.
- Une suite arithmétique de raison \(-2\) est décroissante.
- Si \(u_1 > u_0\), alors la suite \((u_n)\) est croissante.
5 Terme général arithmétique ★★★
Une suite arithmétique a pour premier terme \(u_0 = 7\) et pour raison \(r = -3\). Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calcule \(u_{12}\).
6 Terme général géométrique ★★★
Une suite géométrique a pour premier terme \(v_0 = 5\) et pour raison \(q = 2\). Calcule \(v_6\).
7 Lire une représentation graphique ★★★
La figure représente les cinq premiers termes d’une suite \((u_n)\) que l’on sait arithmétique.
- Lis \(u_0\) et la raison.
- Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calcule \(u_{10}\).
8 Variation d’une suite explicite ★★★
Étudie le sens de variation de \(u_n = n^2 + 5n - 1\).
9 Variation avec une fraction ★★★
Montre que la suite \(u_n = \dfrac{7}{n+1}\) est décroissante.
10 Une suite géométrique décroissante ★★★
Soit \((v_n)\) géométrique avec \(v_0 = 3\) et \(q = 0{,}5\).
- Calcule \(v_4\).
- Justifie le sens de variation.
- Calcule \(v_0 + v_1 + v_2 + v_3 + v_4\).
11 Abonnement à une salle de sport ★★★
Une salle de sport demande 30 € d’inscription puis 22 € par mois. On note \(c_n\) le coût total après \(n\) mois.
- Quelle est la nature de la suite \((c_n)\) ? Exprime \(c_n\).
- Calcule le coût après un an.
- À partir de quel mois le coût dépasse-t-il 500 € ?
12 Culture de bactéries ★★★
Une culture compte 200 bactéries au départ et leur nombre est multiplié par \(1{,}5\) chaque heure. On note \(b_n\) le nombre après \(n\) heures.
- Exprime \(b_n\).
- Calcule \(b_3\) et \(b_4\).
- Après combien d’heures dépasse-t-on 3 000 bactéries ?
13 Somme arithmétique ★★★
Calcule \(5 + 9 + 13 + \dots + 101\).
14 Conjecturer puis vérifier ★★★
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = u_n + 2n + 1\).
- Calcule \(u_1\), \(u_2\), \(u_3\), \(u_4\).
- Conjecture une formule explicite pour \(u_n\).
- Vérifie que cette formule est compatible avec la relation de récurrence.
15 Retrouver une suite arithmétique ★★★
Une suite arithmétique vérifie \(u_4 = 19\) et \(u_9 = 44\). Détermine sa raison, son premier terme et \(u_n\).
16 Retrouver une suite géométrique ★★★
Une suite géométrique \((v_n)\) de raison positive vérifie \(v_2 = 12\) et \(v_5 = 96\). Détermine \(q\), \(v_0\), \(v_n\), puis \(v_8\).
17 Doubler un capital ★★★
On place 2 000 € à 3 % par an, intérêts composés. On note \(c_n\) le capital après \(n\) années.
- Exprime \(c_n\).
- Écris un algorithme qui donne la première année où le capital dépasse 4 000 €.
- Quelle valeur obtient-on ?
18 Une suite auxiliaire ★★★
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = 0{,}5\,u_n + 3\). On pose \(w_n = u_n - 6\).
- Montre que \((w_n)\) est géométrique ; donne sa raison et \(w_0\).
- Exprime \(w_n\) puis \(u_n\).
- Vérifie avec \(u_1\) et \(u_2\), puis étudie le sens de variation de \((u_n)\).
19 Somme géométrique et seuil ★★★
On considère \(3 + 6 + 12 + 24 + \dots\) (chaque terme double).
- Calcule la somme des 10 premiers termes.
- Combien de termes faut-il additionner pour dépasser 10 000 ?
20 Rondins empilés ★★★
Un tas de rondins est empilé en rangées : 20 rondins en bas, puis une rangée de moins à chaque étage, jusqu’à une rangée d’un seul rondin.
- Combien de rondins au total ?
- On refait un tas où chaque rangée a 2 rondins de moins que la précédente, en partant de 21 en bas jusqu’à 1 en haut. Combien de rangées et de rondins ?
21 Variation d’une suite par récurrence ★★★
Soit \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = u_n + \dfrac{1}{u_n}\), où tous les termes sont strictement positifs.
- Calcule \(u_1\) et \(u_2\).
- Étudie le sens de variation de \((u_n)\).
