Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Suite explicite / 4 pts
- \(u_0 = 2\), \(u_1 = -1\), \(u_2 = -2\), \(u_3 = -1\). (2 pts)
- \(u_{n+1} - u_n = (n+1)^2 - 4(n+1) + 2 - (n^2 - 4n + 2) = 2n - 3\). (1 pt)
- Cette différence est négative pour \(n = 0\) et \(n = 1\), positive dès \(n = 2\) : la suite décroît puis croît, elle n’est pas monotone. (1 pt)
2 Suite arithmétique / 4 pts
- \(u_0 = 17 - 5 \times 3 = 2\) (1 pt) et \(u_n = 2 + 3n\) (1 pt).
- \(u_{30} = 2 + 90 = 92\). (1 pt)
- 31 termes : \(S = 31 \times \dfrac{2 + 92}{2} = 31 \times 47 = 1\,457\). (1 pt)
3 Suite géométrique / 4 pts
- \(v_3 = 80 \times 0{,}9^3 = 80 \times 0{,}729 = 58{,}32\). (1 pt)
- \(v_0 > 0\) et \(0 < q < 1\) : la suite est décroissante. (1 pt)
- \(S = 80 \times \dfrac{1 - 0{,}9^{10}}{1 - 0{,}9}\) (1 pt) \(\approx 800 \times 0{,}6513 \approx 521{,}06\). (1 pt)
4 Croissance d’une plante / 4 pts
- Chaque semaine, \(h_{n+1} = 1{,}05\,h_n\) : suite géométrique de raison \(1{,}05\) et \(h_0 = 12\), donc \(h_n = 12 \times 1{,}05^n\). (1 pt)
- \(h_4 = 12 \times 1{,}05^4 \approx 14{,}586\), soit environ \(14{,}6\) cm. (1 pt)
- h ← 12 ; n ← 0 ; Tant que h ≤ 24 : h ← 1,05 × h et n ← n + 1 ; afficher n. (1 pt) On trouve \(1{,}05^{14} \approx 1{,}98 < 2\) et \(1{,}05^{15} \approx 2{,}08 > 2\) : la valeur affichée est 15 semaines. (1 pt)
5 Suite auxiliaire / 4 pts
- \(u_1 = 15 - 4 = 11\) et \(u_2 = 33 - 4 = 29\). (1 pt)
- \(w_{n+1} = u_{n+1} - 2 = 3u_n - 6 = 3(u_n - 2) = 3w_n\) : géométrique de raison 3, avec \(w_0 = 3\). (1,5 pt)
- \(w_n = 3 \times 3^n = 3^{n+1}\) (1 pt) donc \(u_n = 2 + 3^{n+1}\) ; on retrouve \(u_1 = 11\). (0,5 pt)
