Pile ou face, tirage au sort, prévisions météo, jeux vidéo : le hasard est partout. On ne peut pas prévoir un résultat isolé, mais on peut mesurer ses chances de se produire grâce à un nombre : la probabilité. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à décrire une expérience aléatoire, à calculer des probabilités, à utiliser l’événement contraire, puis à étudier des expériences à deux épreuves avec des tableaux et des arbres.
1. Expérience aléatoire et issues
Une expérience est aléatoire quand on connaît tous ses résultats possibles, mais qu’on ne peut pas savoir à l’avance lequel va se produire. Chaque résultat possible s’appelle une issue. La liste de toutes les issues est l’univers de l’expérience.
Lancer un dé, faire tourner une roue, tirer un jeton au fond d’un sac sans regarder : ce sont des expériences aléatoires. Dans le sac ci-dessous, on tire un jeton au hasard : il y a 12 issues possibles, une par jeton.
Attention, les issues ne sont pas forcément les couleurs : ici on peut aussi considérer que chacun des 12 jetons est une issue, ce qui sera bien pratique pour compter.
2. Événements
Un événement est un ensemble d’issues. Les issues qui le réalisent s’appellent ses issues favorables. Un événement est impossible s’il n’a aucune issue favorable, et certain si toutes les issues le réalisent.
Dans le sac de la figure, l’événement « tirer un jeton vert » a 3 issues favorables. L’événement « tirer un jeton rouge » est impossible (il n’y a aucun jeton rouge). L’événement « tirer un jeton orange, bleu ou vert » est certain.
3. La probabilité d’un événement
La probabilité d’un événement \(A\), notée \(P(A)\), est un nombre compris entre \(0\) et \(1\) qui mesure la chance que \(A\) se réalise. On peut l’écrire en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
- \(0 \leqslant P(A) \leqslant 1\) pour tout événement \(A\) ;
- un événement impossible a pour probabilité \(0\), un événement certain a pour probabilité \(1\) ;
- la somme des probabilités de toutes les issues d’une expérience vaut \(1\).
Le hasard n’a pas de mémoire ! Si une pièce équilibrée est tombée cinq fois de suite sur face, la probabilité d’obtenir face au lancer suivant reste \(\dfrac{1}{2}\). Une probabilité ne peut jamais être négative ni dépasser \(1\) : un résultat comme \(\dfrac{7}{5}\) est forcément faux.
4. Le cas de l’équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, jetons indiscernables au toucher, roue régulière), on dit qu’il y a équiprobabilité.
\[ P(A) = \dfrac{\text{nombre d’issues favorables à } A}{\text{nombre total d’issues}} \]
- Vérifier que les issues sont équiprobables (« au hasard », « équilibré »).
- Compter toutes les issues possibles.
- Compter celles qui réalisent l’événement.
- Écrire la fraction et la simplifier ; conclure par une phrase.
On tire un jeton au hasard dans le sac de 12 jetons (5 orange, 4 bleus, 3 verts).
\(P(\text{orange}) = \dfrac{5}{12}\) ; \(P(\text{vert}) = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\) ; \(P(\text{orange ou bleu}) = \dfrac{5+4}{12} = \dfrac{9}{12} = \dfrac{3}{4}\).
5. L’événement contraire
L’événement contraire de \(A\), noté \(\overline{A}\), se réalise exactement quand \(A\) ne se réalise pas. Un événement et son contraire n’ont aucune issue en commun et, à eux deux, ils couvrent toutes les issues.
\[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) \]
On tire une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. Soit \(A\) : « obtenir un cœur ». Il y a 8 cœurs, donc \(P(A) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\). L’événement contraire \(\overline{A}\) est « ne pas obtenir un cœur » :
\(P(\overline{A}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).
Sur ma planète, quand une question contient « au moins un » ou « pas de », je passe par l’événement contraire : c’est presque toujours plus rapide à compter !
6. Expériences à deux épreuves : le tableau à double entrée
Quand on répète deux fois une expérience (deux lancers de dé, par exemple), chaque issue est un couple \((a\,;\,b)\) : le résultat du premier lancer, puis celui du second. Avec deux dés équilibrés à 6 faces, on obtient \(6 \times 6 = 36\) issues équiprobables. Un tableau à double entrée les range toutes : on place les résultats du premier dé en ligne, ceux du second en colonne, et chaque case contient la somme.
| + | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Les cases égales à 7 sont au nombre de 6, donc \(P(\text{somme égale à } 7) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\). Les sommes supérieures ou égales à 10 sont 10 (trois fois), 11 (deux fois) et 12 (une fois) : \(P(\text{somme} \geqslant 10) = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
Les tableaux à double entrée servent aussi à présenter des données : par exemple les effectifs d’un groupe répartis selon deux critères (fille ou garçon, externe ou demi-pensionnaire). La probabilité de choisir un élève dans une case est alors l’effectif de la case divisé par l’effectif total.
7. Les arbres de probabilités
Quand les issues d’une expérience à deux épreuves ne sont pas équiprobables (par exemple un tirage sans remise), on utilise un arbre. Chaque branche porte la probabilité d’aller d’un nœud au suivant.
- Somme : la somme des probabilités des branches qui partent d’un même nœud vaut \(1\).
- Produit : la probabilité d’un chemin (une issue à deux épreuves) est le produit des probabilités de ses branches.
- Addition des chemins : la probabilité d’un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent.
Un sac contient 3 boules rouges et 2 boules bleues. On en tire deux, l’une après l’autre, sans remettre la première. Après un premier tirage rouge, il reste 2 rouges et 2 bleues ; après un premier tirage bleu, il reste 3 rouges et 1 bleue (voir l’arbre).
\(P(RR) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{3}{10}\). Deux boules de couleurs différentes : \(P(RB) + P(BR) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{3}{5}\).
Avec un tirage sans remise, les probabilités du second niveau changent, car le contenu du sac n’est plus le même. Avec remise, elles restent identiques à celles du premier niveau.
8. Fréquence et probabilité
Si on répète une expérience un grand nombre de fois, la fréquence d’un résultat (effectif divisé par nombre d’essais) se rapproche de sa probabilité. Sur 1 000 lancers d’une pièce équilibrée, on peut obtenir 507 faces : la fréquence est \(0{,}507\), proche de \(0{,}5\). Plus on fait d’essais, plus la fréquence se stabilise. Mais sur un petit nombre d’essais, elle peut s’écarter beaucoup de la probabilité : ce n’est pas une anomalie, c’est le hasard !
À retenir
- Une probabilité est un nombre entre \(0\) et \(1\) ; \(0\) pour l’impossible, \(1\) pour le certain.
- En équiprobabilité : \(P(A) = \dfrac{\text{issues favorables}}{\text{issues possibles}}\).
- \(P(\overline{A}) = 1 - P(A)\).
- Deux épreuves : on range les issues dans un tableau à double entrée ou dans un arbre.
- Dans un arbre, on multiplie le long d’un chemin et on additionne les chemins d’un même événement.
- La fréquence se rapproche de la probabilité quand le nombre d’essais augmente.
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