Probabilités : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Dé à huit faces ★★★

1. L’univers est \(\{1\,;2\,;3\,;4\,;5\,;6\,;7\,;8\}\), soit 8 issues équiprobables.
2. Les nombres premiers sont 2, 3, 5 et 7 : 4 issues favorables. \(P = \dfrac{4}{8} = \dfrac{1}{2}\).
3. Les multiples de 3 sont 3 et 6 : \(P = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}\).

2 Ces nombres sont-ils des probabilités ? ★★★

Une probabilité est comprise entre \(0\) et \(1\).

• \(0{,}35\) : oui. \(\dfrac{3}{8} = 0{,}375\) : oui. \(1\) : oui (événement certain).
• \(1{,}2\) est supérieur à \(1\) : non. \(\dfrac{5}{4} = 1{,}25 > 1\) : non.
• \(-0{,}1\) est négatif : non.

3 La roue de loterie ★★★

Les 10 secteurs étant égaux, il y a équiprobabilité.

1. Pairs : 2, 4, 6, 8, 10, soit 5 issues. \(P = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\).
2. Strictement supérieurs à 7 : 8, 9, 10, soit 3 issues. \(P = \dfrac{3}{10}\).
3. Multiples de 4 : 4 et 8. \(P = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5}\).

4 La boîte de chocolats ★★★

1. Il y a 7 chocolats noirs sur 20 : \(P(\text{noir}) = \dfrac{7}{20}\).
2. Ne pas être blanc, c’est être au lait ou noir : \(\dfrac{8+7}{20} = \dfrac{15}{20} = \dfrac{3}{4}\). Autre méthode : \(1 - \dfrac{5}{20} = \dfrac{3}{4}\).

5 Événements contraires ★★★

1. \(1 - 0{,}28 = 0{,}72\).
2. \(1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}\).
3. \(P(\overline{A}) = 1 - 0{,}37 = 0{,}63\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux. Le hasard n’a pas de mémoire : pile et face restent chacun de probabilité \(\dfrac{1}{2}\).
2. Vrai. Probabilité nulle signifie qu’aucune issue ne réalise l’événement.
3. Faux. C’est peu probable (\(\dfrac{1}{10}\)) mais possible.
4. Faux. Le 6 est à la fois pair et multiple de 3 (ils ont une issue en commun), et le 1 n’est dans aucun des deux : le contraire de « pair » est « impair ».

7 Pièce lancée 200 fois ★★★

Fréquence de face : \(\dfrac{109}{200} = 0{,}545\). Pile est sorti \(200 - 109 = 91\) fois : \(\dfrac{91}{200} = 0{,}455\). On vérifie \(0{,}545 + 0{,}455 = 1\).

La probabilité théorique est \(0{,}5\) : la fréquence observée en est proche, sans être égale, ce qui est normal pour 200 essais.

8 Le jeu de 32 cartes ★★★

1. 4 rois : \(\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\).
2. 1 seule carte : \(\dfrac{1}{32}\).
3. 3 figures par famille, donc \(3 \times 4 = 12\) figures : \(\dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}\).
4. Il y a 4 as, donc \(32 - 4 = 28\) cartes qui ne sont pas des as : \(\dfrac{28}{32} = \dfrac{7}{8}\).

9 Composition d’un sac ★★★

Rouges : \(\dfrac{3}{8} \times 24 = 9\). Bleus : \(\dfrac{1}{4} \times 24 = 6\).

Verts : \(P(\text{vert}) = 1 - \dfrac{3}{8} - \dfrac{2}{8} = \dfrac{3}{8}\), donc \(\dfrac{3}{8} \times 24 = 9\). Contrôle : \(9 + 6 + 9 = 24\). Le sac contient 9 rouges, 6 bleus et 9 verts.

10 Somme de deux dés ★★★

Il y a \(6 \times 6 = 36\) couples équiprobables.

1. Somme 9 : \((3\,;6)\), \((4\,;5)\), \((5\,;4)\), \((6\,;3)\), soit 4 couples. \(P = \dfrac{4}{36} = \dfrac{1}{9}\).
2. 10 : 3 couples, 11 : 2 couples, 12 : 1 couple, soit 6 couples. \(P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}\).
3. La somme est paire quand les deux dés ont la même parité : \(3 \times 3 + 3 \times 3 = 18\) couples. \(P = \dfrac{18}{36} = \dfrac{1}{2}\).

11 Le tableau de la cantine ★★★

1. Filles demi-pensionnaires : \(28 - 9 = 19\). Garçons : \(60 - 28 = 32\). Externes en tout : \(60 - 39 = 21\), donc garçons externes : \(21 - 9 = 12\), garçons demi-pensionnaires : \(39 - 19 = 20\).

2. \(P(\text{fille}) = \dfrac{28}{60} = \dfrac{7}{15}\).
3. \(P(\text{garçon externe}) = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5}\).
4. \(P(\text{demi-pensionnaire}) = \dfrac{39}{60} = \dfrac{13}{20}\).

12 Deux lancers de pièce ★★★

1. Les issues sont PP, PF, FP, FF : 4 issues équiprobables.
2. PP et FF conviennent : \(\dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}\).
3. Le contraire de « au moins un pile » est « aucun pile », c’est-à-dire FF, de probabilité \(\dfrac{1}{4}\). Donc \(P = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\).

13 Un dé truqué ★★★

1. La somme des probabilités vaut 1 : les cinq autres faces se partagent \(1 - 0{,}25 = 0{,}75\). Chacune a donc pour probabilité \(0{,}75 \div 5 = 0{,}15\).
2. Pairs : 2, 4 et 6. \(P = 0{,}15 + 0{,}15 + 0{,}25 = 0{,}55\).
3. Impair est le contraire de pair : \(1 - 0{,}55 = 0{,}45\). Vérification : \(3 \times 0{,}15 = 0{,}45\).

14 Ajouter des jetons ★★★

Soit \(x\) le nombre de rouges ajoutés. Le sac contient alors \(4 + x\) rouges sur \(10 + x\) jetons. On cherche \(\dfrac{4+x}{10+x} = \dfrac{1}{2}\), soit \(2(4+x) = 10 + x\), donc \(8 + 2x = 10 + x\) et \(x = 2\).

Vérification : \(\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\). Il faut ajouter 2 jetons rouges.

15 Deux jetons sans remise ★★★

1. \(P(VV) = \dfrac{4}{7} \times \dfrac{3}{6} = \dfrac{12}{42} = \dfrac{2}{7}\).
2. \(P(JJ) = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{2}{6} = \dfrac{6}{42} = \dfrac{1}{7}\).
3. L’événement « couleurs différentes » est le contraire de « même couleur » : \(1 - \dfrac{2}{7} - \dfrac{1}{7} = \dfrac{4}{7}\).

Contrôle : \(P(VJ) + P(JV) = \dfrac{4}{7}\times\dfrac{3}{6} + \dfrac{3}{7}\times\dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{7} + \dfrac{2}{7} = \dfrac{4}{7}\).

16 Tirage avec remise ★★★

1. La boule est remise : les probabilités sont les mêmes aux deux tirages (\(\dfrac{2}{5}\) pour R, \(\dfrac{3}{5}\) pour N).

2. \(P(RR) = \dfrac{2}{5}\times\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}\) et \(P(NN) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}\).
3. Le contraire de « au moins une noire » est « deux rouges » : \(1 - \dfrac{4}{25} = \dfrac{21}{25}\).

17 Le tournoi de tennis ★★★

1. Premier niveau : G (0,6) et P (0,4) ; second niveau identique, car les matchs sont indépendants.
2. \(P(GG) = 0{,}6 \times 0{,}6 = 0{,}36\) ; \(P(PP) = 0{,}4 \times 0{,}4 = 0{,}16\).
3. \(P(GP) + P(PG) = 0{,}6\times0{,}4 + 0{,}4\times0{,}6 = 0{,}24 + 0{,}24 = 0{,}48\).
4. Le contraire est « perdre les deux » : \(1 - 0{,}16 = 0{,}84\). On retrouve \(0{,}36 + 0{,}48 = 0{,}84\).

18 Les adhérents du club ★★★

1. Natation seulement : \(35 - 12 = 23\). Tennis seulement : \(28 - 12 = 16\). Aucune des deux : \(80 - (23 + 16 + 12) = 29\).

2. \(P = \dfrac{12}{80} = \dfrac{3}{20}\).
3. Au moins une activité : \(23 + 16 + 12 = 51\) adhérents, \(P = \dfrac{51}{80}\).
4. \(P = \dfrac{29}{80}\). Contrôle : \(\dfrac{51}{80} + \dfrac{29}{80} = 1\).

19 Un jeu équitable ? ★★★

Il y a 36 couples équiprobables. Le produit est impair seulement si les deux nombres sont impairs : \(3 \times 3 = 9\) couples. Donc \(P(\text{Bob gagne}) = \dfrac{9}{36} = \dfrac{1}{4}\).

Le produit pair est l’événement contraire : \(P(\text{Alice gagne}) = 1 - \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{4}\). Le jeu n’est pas équitable : Alice a trois fois plus de chances de gagner.

20 Combien de jetons bleus ? ★★★

Le sac contient \(12 + x\) jetons, donc \(\dfrac{x}{12 + x} = \dfrac{2}{5}\), soit \(5x = 2(12 + x) = 24 + 2x\). On obtient \(3x = 24\) et \(x = 8\).

Vérification : \(\dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5}\). Il y a 8 jetons bleus.

21 Fréquences sur 300 lancers ★★★

1. \(46 + 52 + 49 + 55 + 47 + 51 = 300\).
2. Fréquence : \(\dfrac{55}{300} = \dfrac{11}{60} \approx 0{,}183\). Probabilité : \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). Elles sont proches.
3. Faces 5 et 6 : \(47 + 51 = 98\) lancers, fréquence \(\dfrac{98}{300} = \dfrac{49}{150} \approx 0{,}327\). Probabilité : \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\). Là encore, la fréquence est proche de la probabilité.