Notion de fonction : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Image et antécédent avec une formule ★★★

1. \(f(3) = 5 \times 3 + 2 = 17\) ; \(f(0) = 2\) ; \(f(-2) = 5 \times (-2) + 2 = -10 + 2 = -8\).
2. On résout \(5x + 2 = 12\) : \(5x = 10\), donc \(x = 2\). Vérification : \(f(2) = 12\). L’antécédent de \(12\) par \(f\) est \(2\).

2 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(h(2) = 4 + 5 = 9\).
2. Vrai : \(h(3) = 9 + 5 = 14\).
3. Vrai : \(h(6) = 36 + 5 = 41\), donc \(6\) est un antécédent de \(41\).
4. Faux : \(h(-1) = (-1)^2 + 5 = 1 + 5 = 6\), et non \(-4\).

3 Compléter un tableau de valeurs ★★★

\(f(-2) = -4 - 3 = -7\) ; \(f(-1) = -2 - 3 = -5\) ; \(f(0) = -3\) ; \(f(1) = -1\) ; \(f(2) = 1\) ; \(f(3) = 3\).

4 D’un programme à une formule ★★★

1. Si \(x\) est le nombre choisi, \(f(x) = 3x + 4\).
2. \(f(5) = 15 + 4 = 19\) ; \(f(-2) = -6 + 4 = -2\) ; \(f(0) = 4\).

5 Un cycliste régulier ★★★

1. \(d(2) = 30\) : il a parcouru \(30\) km.
2. On cherche l’antécédent de \(45\) : \(15t = 45\), donc \(t = 3\). Il lui faut \(3\) heures.
3. \(d(4) = 60\) : en \(4\) h il parcourt \(60\) km. \(d(2{,}5) = 37{,}5\) : en \(2\) h \(30\) min il parcourt \(37{,}5\) km.

6 Impression de photos ★★★

1. \(p(20) = 0{,}4 \times 20 + 2{,}5 = 8 + 2{,}5 = 10{,}5\) € ; \(p(35) = 14 + 2{,}5 = 16{,}5\) €.
2. On résout \(0{,}4x + 2{,}5 = 12{,}9\) : \(0{,}4x = 10{,}4\), donc \(x = 26\). Marie a commandé \(26\) photos (vérification : \(0{,}4 \times 26 + 2{,}5 = 12{,}9\)).

7 Un point est-il sur la courbe ? ★★★

\(f(2) = 7\) : l’ordonnée de \(A\) est \(7\), donc \(A \in \mathcal{C}\).

\(f(-1) = -3 + 1 = -2\), et non \(-3\) : \(B \notin \mathcal{C}\).

\(f(0) = 1\) : \(C \in \mathcal{C}\).

8 Images d’une fonction du second degré ★★★

1. \(g(0) = 1\) ; \(g(2) = 4 - 8 + 1 = -3\) ; \(g(-1) = 1 + 4 + 1 = 6\) ; \(g(4) = 16 - 16 + 1 = 1\) ; \(g(5) = 25 - 20 + 1 = 6\).
2. \(0\) et \(4\) ont la même image, \(1\) ; \(-1\) et \(5\) ont la même image, \(6\). Ainsi \(1\) a (au moins) deux antécédents, \(0\) et \(4\), et \(6\) a (au moins) deux antécédents, \(-1\) et \(5\).

9 Antécédents d’une fonction affine ★★★

\(4x - 7 = 9\) donne \(4x = 16\), donc \(x = 4\).

\(4x - 7 = -3\) donne \(4x = 4\), donc \(x = 1\).

\(4x - 7 = 0\) donne \(4x = 7\), donc \(x = \dfrac{7}{4} = 1{,}75\).

Vérification : \(f(4) = 9\), \(f(1) = -3\), \(f\left(\dfrac{7}{4}\right) = 7 - 7 = 0\).

10 Le ballon lancé en l’air ★★★

1. \(h(0) = 1\) : il est lancé de \(1\) m de hauteur.
2. Par lecture graphique, l’image de \(1\) est \(4\) : \(h(1) = 4\) m.
3. Les antécédents de \(4\) sont \(1\) et \(3\) : le ballon est à \(4\) m au bout de \(1\) s (en montant) et de \(3\) s (en descendant).
4. Le point le plus haut a pour coordonnées \((2\,;\,5)\) : hauteur maximale \(5\) m, atteinte au bout de \(2\) s.
5. \(h(3) = -9 + 12 + 1 = 4\).

11 Vrai ou faux avec la fonction carré ★★★

1. Vrai : \(f(-a) = (-a)^2 = a^2 = f(a)\). Par exemple \(f(3) = f(-3) = 9\).
2. Faux : le nombre \(-1\) n’a pas d’antécédent car un carré n’est jamais négatif.
3. Vrai : \(x^2 = 16\) donne \(x = 4\) ou \(x = -4\).
4. Faux : par définition d’une fonction, chaque nombre n’a qu’une seule image.

12 Un programme qui cache un secret ★★★

1. Avec \(7\) : \(10\), puis \(40\), puis \(28\). Avec \(-2\) : \(1\), puis \(4\), puis \(-8\).
2. \(f(x) = 4(x + 3) - 12 = 4x + 12 - 12 = 4x\) : le programme donne le quadruple du nombre choisi (on retrouve \(28 = 4 \times 7\) et \(-8 = 4 \times (-2)\)).
3. On résout \(4x = 100\), donc \(x = 25\).

13 Tableau de valeurs et courbe ★★★

1. \(x\)	\(-3\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
   \(g(x)\)	\(6\)	\(1\)	\(-2\)	\(-3\)	\(-2\)	\(1\)	\(6\)

2. Voici la courbe obtenue :

c) Deux nombres opposés ont la même image (\(g(-x) = g(x)\)), donc les points \((x\,;\,y)\) et \((-x\,;\,y)\) sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées.

14 Deux tarifs de plombier ★★★

1. \(C(3) = 45 + 90 = 135\) € ; \(D(3) = 150\) €. Pour \(3\) heures, le plombier A est moins cher.
2. On résout \(45 + 30x = 210\) : \(30x = 165\), donc \(x = 5{,}5\). Cela correspond à \(5\) h \(30\) min.
3. On résout \(45 + 30x = 50x\) : \(45 = 20x\), donc \(x = 2{,}25\), soit \(2\) h \(15\) min. Le montant est \(C(2{,}25) = 45 + 67{,}5 = 112{,}5\) € ; on a bien \(D(2{,}25) = 112{,}5\) €.

15 Antécédents et carrés ★★★

Antécédents de \(0\) : \(x^2 = 9\), donc \(x = 3\) ou \(x = -3\).

Antécédents de \(16\) : \(x^2 - 9 = 16\), donc \(x^2 = 25\), donc \(x = 5\) ou \(x = -5\).

Antécédents de \(-9\) : \(x^2 = 0\), donc \(x = 0\) : un seul antécédent.

Antécédents de \(-10\) : \(x^2 = -1\) est impossible : aucun antécédent.

16 Une fonction avec une fraction ★★★

1. \(f(4) = \dfrac{9}{3} = 3\) ; \(f(-2) = \dfrac{-3}{3} = -1\) ; \(f\left(\dfrac{1}{2}\right) = \dfrac{1 + 1}{3} = \dfrac{2}{3}\).
2. \(\dfrac{2x + 1}{3} = 5\) donne \(2x + 1 = 15\), donc \(2x = 14\) et \(x = 7\) ; \(\dfrac{2x + 1}{3} = -2\) donne \(2x + 1 = -6\), donc \(2x = -7\) et \(x = -\dfrac{7}{2} = -3{,}5\).

17 Combien d’antécédents ? ★★★

1. \(k(1) = -2\) et \(k(-2) = -8 + 6 = -2\) : les deux images valent \(-2\).
2. L’horizontale \(y = 1\) coupe la courbe en 3 points (abscisses environ \(-1{,}5\), \(-0{,}35\) et \(1{,}9\)). L’horizontale \(y = 2\) la coupe en 2 points (l’un est le sommet local, en \(x = -1\), l’autre en \(x = 2\)). L’horizontale \(y = 3\) la coupe en 1 seul point, d’abscisse environ \(2{,}1\).
3. \(k(-1) = -1 + 3 = 2\) et \(k(2) = 8 - 6 = 2\).
4. Sur cet intervalle, la courbe ne dépasse pas \(4{,}05\) : le nombre \(5\) n’a aucun antécédent.

18 Deux programmes qui se rencontrent ★★★

1. \(A(x) = 3x - 4\) ; \(B(x) = 5(x - 1) = 5x - 5\).
2. On résout \(3x - 4 = 5x - 5\) : \(1 = 2x\), donc \(x = \dfrac{1}{2}\). Le résultat commun est \(A\left(\dfrac{1}{2}\right) = 1{,}5 - 4 = -2{,}5\) et \(B\left(\dfrac{1}{2}\right) = 2{,}5 - 5 = -2{,}5\).

19 Le rectangle de périmètre fixé ★★★

1. Le demi-périmètre vaut \(10\), donc la largeur est \(10 - x\) et \(A(x) = x(10 - x) = 10x - x^2\).
2. \(A(1) = 9\) ; \(A(2) = 16\) ; \(A(5) = 25\) ; \(A(7) = 21\).
3. D’après la relation de la question d), \(A(x) = 21\) équivaut à \((x - 5)^2 = 25 - 21 = 4\), donc \(x - 5 = 2\) ou \(x - 5 = -2\) : les antécédents de \(21\) sont \(7\) et \(3\) (on retrouve \(A(7) = A(3) = 21\)). On obtient le rectangle de \(3\) cm sur \(7\) cm (le même, tourné d’un quart de tour).
4. \(25 - A(x) = 25 - 10x + x^2 = (x - 5)^2\). Un carré est toujours positif ou nul, donc \(A(x) \leqslant 25\), avec égalité pour \(x = 5\) : le rectangle d’aire maximale est le carré de côté \(5\) cm.

20 Degrés Celsius et Fahrenheit ★★★

1. \(F(100) = 180 + 32 = 212\) et \(F(0) = 32\) : l’eau bout à \(212\) °F et gèle à \(32\) °F.
2. \(1{,}8c + 32 = 50\) donne \(1{,}8c = 18\), donc \(c = 10\) : \(50\) °F correspondent à \(10\) °C.
3. \(1{,}8c + 32 = 0\) donne \(c = -\dfrac{32}{1{,}8} = -\dfrac{160}{9} \approx -17{,}8\) : environ \(-17{,}8\) °C.
4. On cherche \(c\) tel que \(1{,}8c + 32 = c\) : \(0{,}8c = -32\), donc \(c = -40\). À \(-40\) degrés, les deux échelles donnent le même nombre.