Notion de fonction : cours de maths 3ème

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Cours de maths en 3ème : Notion de fonction — Zyro, l’explorateur de Planète Maths

Le prix d’un trajet en taxi dépend de la distance, la hauteur d’un ballon dépend du temps écoulé, la note d’électricité dépend de la consommation : chaque fois qu’une grandeur est commandée par une autre, une fonction se cache derrière. Dans ce chapitre, tu apprends son vocabulaire (image, antécédent), son écriture \(f(x)\), puis tu la manipules avec des calculs, des tableaux, des courbes et des programmes de calcul.

Sommaire

1. Une fonction, c’est une machine à transformer

Fonction

Une fonction \(f\) est un procédé qui, à chaque nombre \(x\) choisi au départ, associe un seul nombre, noté \(f(x)\). On écrit \(f : x \mapsto f(x)\), et on lit « \(f\) envoie \(x\) sur \(f(x)\) ».

Ici, la machine multiplie par \(3\) puis retire \(5\). Si l’on entre \(4\), on obtient \(3 \times 4 - 5 = 7\). Si l’on entre \(10\), on obtient \(25\). À chaque entrée correspond une et une seule sortie : c’est ce qui fait d’un procédé une fonction.

Astuce de Zyro

Sur ma planète, les distributeurs de boissons sont des fonctions : tu tapes un code (l’entrée) et il ne peut sortir qu’une seule boisson. Si un même code donnait deux boissons, ce ne serait plus une fonction !

2. Image et antécédent

Image et antécédent

Si \(f(a) = b\), on dit que :

\(b\) est l’image de \(a\) par la fonction \(f\) ;
\(a\) est un antécédent de \(b\) par la fonction \(f\).

Avec la machine précédente, \(f(4) = 7\) : \(7\) est l’image de \(4\), et \(4\) est un antécédent de \(7\).

Attention

Un nombre a au plus une image, mais il peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents. Ne mélange pas les deux mots : l’image se trouve en calculant \(f(x)\), l’antécédent se trouve en cherchant d’où l’on vient.

3. La notation f(x)

Une fonction peut être donnée par une formule : \(f(x) = 3x - 5\), ou, de façon équivalente, \(f : x \mapsto 3x - 5\). La lettre \(f\) est le nom de la fonction et \(f(x)\) est le nombre obtenu à partir de \(x\). On utilise aussi d’autres lettres : \(g\), \(h\), \(p\), \(C\), \(A\)…

Erreur classique

\(f(x)\) ne signifie pas « \(f\) multiplié par \(x\) » ! Les parenthèses indiquent que l’on applique la fonction \(f\) au nombre \(x\). Pour calculer \(f(4)\), on remplace \(x\) par \(4\) partout dans la formule, en gardant les parenthèses autour des nombres négatifs.

4. Calculer l’image d’un nombre

Méthode

Écris la formule de la fonction.
Remplace \(x\) par le nombre demandé, entre parenthèses.
Effectue le calcul en respectant les priorités.
Conclus par une phrase : « L’image de … par … est … ».

Exemple 1

Soit \(f(x) = 3x - 5\). Calcule les images de \(4\), de \(-2\) et de \(0\).

\(f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7\).

\(f(-2) = 3 \times (-2) - 5 = -6 - 5 = -11\).

\(f(0) = 3 \times 0 - 5 = -5\).

5. Chercher un antécédent par le calcul

Chercher un antécédent de \(b\), c’est résoudre l’équation \(f(x) = b\) : on cherche tous les nombres \(x\) qui ont pour image \(b\).

Exemple 2

Pour \(f(x) = 3x - 5\), cherchons l’antécédent de \(13\).

On résout \(3x - 5 = 13\), donc \(3x = 18\), donc \(x = 6\). Vérification : \(f(6) = 18 - 5 = 13\). L’antécédent de \(13\) par \(f\) est \(6\).

Exemple 3

Soit \(g(x) = x^2 - 4\). Cherchons les antécédents de \(5\), de \(0\) et de \(-5\).

Antécédents de \(5\) : \(x^2 - 4 = 5\), donc \(x^2 = 9\), donc \(x = 3\) ou \(x = -3\). Le nombre \(5\) a deux antécédents.

Antécédents de \(0\) : \(x^2 = 4\), donc \(x = 2\) ou \(x = -2\).

Antécédents de \(-5\) : \(x^2 = -1\) est impossible car un carré n’est jamais négatif. Le nombre \(-5\) n’a aucun antécédent par \(g\).

6. Le tableau de valeurs

Pour se faire une idée du comportement d’une fonction, on calcule plusieurs images et on les range dans un tableau de valeurs. Voici celui de la fonction \(f(x) = x^2 - 2x - 3\), utilisée dans la suite du chapitre :

\(x\)	\(-2\)	\(-1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)	\(4\)
\(f(x)\)	\(5\)	\(0\)	\(-3\)	\(-4\)	\(-3\)	\(0\)	\(5\)

Par exemple, pour \(x = -2\) : \((-2)^2 - 2 \times (-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5\). Remarque que \(5\) apparaît deux fois, et \(0\) aussi : certaines valeurs ont plusieurs antécédents.

7. La courbe représentative

Courbe représentative

Dans un repère, la courbe représentative d’une fonction \(f\) est l’ensemble des points de coordonnées \((x\,;\,f(x))\).

Appartenance à la courbe

Un point \(M(a\,;\,b)\) appartient à la courbe représentative de \(f\) si et seulement si \(f(a) = b\).

Chaque colonne du tableau de valeurs fournit un point de la courbe : \((-2\,;\,5)\), \((-1\,;\,0)\), \((0\,;\,-3)\), etc. On place ces points et on les relie par un tracé régulier. L’abscisse d’un point est le nombre de départ, son ordonnée est son image.

Exemple 4

Le point \(D(3\,;\,0)\) est sur la courbe de \(f\) car \(f(3) = 9 - 6 - 3 = 0\). Le point \((2\,;\,1)\) n’y est pas car \(f(2) = -3 \neq 1\).

8. Lecture graphique d’une image et d’antécédents

Méthode

Image de \(a\) : place \(a\) sur l’axe des abscisses, monte (ou descends) jusqu’à la courbe, puis lis l’ordonnée du point rencontré.
Antécédents de \(b\) : place \(b\) sur l’axe des ordonnées, trace l’horizontale, repère tous ses points d’intersection avec la courbe, puis lis leurs abscisses.

Exemple 5

Sur la courbe ci-dessus :

l’image de \(4\) est \(5\) (point \(A\)) ;
les antécédents de \(5\) sont \(-2\) et \(4\) (points \(B\) et \(A\)) ;
les antécédents de \(0\) sont \(-1\) et \(3\) (points \(C\) et \(D\)) ;
le nombre \(-4\) a un seul antécédent, \(1\) (point \(E\), le point le plus bas) ;
le nombre \(-5\) n’a aucun antécédent : l’horizontale ne rencontre pas la courbe.

Une lecture graphique donne souvent une valeur approchée. Pour une valeur exacte, on passe par le calcul.

9. Fonctions et programmes de calcul

Un programme de calcul est une fonction décrite par une suite d’opérations. Écrire sa formule permet de comprendre ce qu’il fait vraiment.

Exemple 6

Programme : « Choisis un nombre, ajoute-lui \(5\), multiplie le résultat par \(2\), puis retire le nombre de départ. »

Avec \(7\) : \(7 + 5 = 12\), \(12 \times 2 = 24\), \(24 - 7 = 17\).

Avec un nombre \(x\) quelconque : \(f(x) = 2(x + 5) - x = 2x + 10 - x = x + 10\). Le programme revient à ajouter \(10\) au nombre de départ ; on retrouve bien \(7 + 10 = 17\).

À retenir

Une fonction associe à chaque nombre \(x\) un unique nombre \(f(x)\).
Si \(f(a) = b\) : \(b\) est l’image de \(a\), et \(a\) est un antécédent de \(b\).
Pour une image, on calcule \(f(a)\) ; pour un antécédent, on résout \(f(x) = b\).
Un nombre a une seule image, mais peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
La courbe de \(f\) est formée des points \((x\,;\,f(x))\) : le point \(M(a\,;\,b)\) en fait partie si et seulement si \(f(a) = b\).
Graphiquement : image = on part de l’axe des abscisses ; antécédents = on part de l’axe des ordonnées.
Un programme de calcul se traduit en formule, ce qui permet de le simplifier.