Un forfait de téléphone, une location de vélo, une recette que l’on double pour des invités, un prix soldé : dans tous ces cas, une quantité dépend d’une autre de façon très régulière. Les fonctions linéaires et affines sont les outils parfaits pour décrire ces situations, les représenter par une droite et faire des prévisions. Dans ce chapitre, tu vas apprendre à les reconnaître, à les tracer et à retrouver leur expression à partir de quelques informations.
1. Se rappeler : fonction, image, antécédent
Une fonction \(f\) associe à chaque nombre \(x\) un unique nombre noté \(f(x)\). On écrit \(f : x \mapsto f(x)\). Le nombre \(f(x)\) est l’image de \(x\) ; le nombre \(x\) est un antécédent de \(f(x)\).
Par exemple, si \(f(x) = 3x + 2\), alors l’image de \(4\) est \(f(4) = 3 \times 4 + 2 = 14\). Pour trouver un antécédent de \(20\), on résout l’équation \(3x + 2 = 20\), soit \(3x = 18\), donc \(x = 6\).
2. La fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction de la forme \(f(x) = ax\), où \(a\) est un nombre fixé appelé coefficient de la fonction.
Une fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : \(f(x)\) est toujours le produit de \(x\) par le même nombre \(a\). Si l’on double \(x\), on double aussi \(f(x)\) ; si l’on additionne deux valeurs de \(x\), les images s’additionnent.
Un jardinier achète des plants de menthe à \(2{,}50\) € l’unité. Le prix payé pour \(x\) plants est \(f(x) = 2{,}5x\). Pour \(8\) plants : \(f(8) = 2{,}5 \times 8 = 20\), soit \(20\) €. Avec \(35\) €, il peut en acheter \(x\) tels que \(2{,}5x = 35\), donc \(x = 35 \div 2{,}5 = 14\) plants.
La représentation graphique d’une fonction linéaire \(f(x) = ax\) est une droite qui passe par l’origine du repère. Le nombre \(a\) est le coefficient directeur de cette droite : c’est de combien \(y\) augmente quand \(x\) augmente de \(1\).
Sur la figure, la droite représente \(f(x) = 1{,}5x\). Elle passe par \(A(2\ ;\ 3)\) et \(B(4\ ;\ 6)\). Quand on avance de \(1\) vers la droite, on monte de \(1{,}5\) : c’est le coefficient directeur. Si \(a\) est positif, la droite « monte » ; si \(a\) est négatif, elle « descend ».
3. La fonction affine
Une fonction affine est une fonction de la forme \(f(x) = ax + b\), où \(a\) et \(b\) sont deux nombres fixés. Le nombre \(a\) est le coefficient directeur et le nombre \(b\) est l’ordonnée à l’origine, car \(f(0) = b\).
Une fonction linéaire est donc un cas particulier de fonction affine, celui où \(b = 0\). Quand \(b \neq 0\), la situation n’est plus proportionnelle : il y a une valeur de départ \(b\) à laquelle on ajoute \(a\) fois \(x\).
Une salle d’escalade demande un droit d’entrée de \(4\) € et \(3\) € par heure de location du matériel. Le prix pour \(x\) heures est \(p(x) = 3x + 4\). Ici \(a = 3\) (le prix de l’heure) et \(b = 4\) (le droit d’entrée). Pour \(5\) heures : \(p(5) = 3 \times 5 + 4 = 19\) €. Le tarif n’est pas proportionnel à la durée, puisque \(p(0) = 4\) et non \(0\).
Ne confonds pas \(a\) et \(b\). Dans \(f(x) = -3x + 8\), le coefficient directeur est \(-3\) (le signe fait partie du nombre) et l’ordonnée à l’origine est \(8\). Dans \(g(x) = 9 - x\), on a \(a = -1\) et \(b = 9\) : on réordonne d’abord, \(g(x) = -x + 9\).
4. Représentation graphique d’une fonction affine
La représentation graphique d’une fonction affine \(f(x) = ax + b\) est une droite. Elle coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\ ;\ b)\) et elle a pour coefficient directeur \(a\). Réciproquement, un point \(M(x\ ;\ y)\) est sur la droite si et seulement si \(y = ax + b\).
Sur la figure, la droite violette représente \(f(x) = 2x - 1\). Elle coupe l’axe des ordonnées en \(B(0\ ;\ -1)\) : c’est l’ordonnée à l’origine. Le petit triangle pointillé montre le coefficient directeur : on avance de \(1\), on monte de \(2\). La droite orange représente \(g(x) = -x + 3\) : elle coupe l’axe en \(C(0\ ;\ 3)\) et elle descend de \(1\) quand on avance de \(1\), car \(a = -1\).
- Choisis deux valeurs de \(x\) simples, par exemple \(0\) et \(2\).
- Calcule leurs images et note les deux points obtenus dans un tableau.
- Place les deux points dans le repère et trace la droite avec la règle.
- Vérifie avec un troisième point : s’il n’est pas aligné, une valeur est fausse.
Sur ma planète, on lit une droite comme un escalier : l’ordonnée à l’origine est la hauteur de la première marche, et le coefficient directeur dit de combien chaque marche monte quand on avance d’un pas. Compte les marches, et tu retrouves la formule !
5. Déterminer une fonction
Pour retrouver l’expression d’une fonction, on utilise les informations données par ses images.
Si \(f\) est une fonction affine, alors pour deux nombres distincts \(x_1\) et \(x_2\), \[ a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}. \] Pour une fonction linéaire, \(a = \dfrac{f(x)}{x}\) avec \(x \neq 0\).
La fonction linéaire \(f\) vérifie \(f(4) = 14\). Alors \(a = \dfrac{14}{4} = 3{,}5\), donc \(f(x) = 3{,}5x\).
La fonction affine \(f\) vérifie \(f(1) = 7\) et \(f(5) = -1\).
Coefficient directeur : \(a = \dfrac{-1 - 7}{5 - 1} = \dfrac{-8}{4} = -2\). Donc \(f(x) = -2x + b\).
Comme \(f(1) = 7\), on a \(-2 \times 1 + b = 7\), donc \(b = 9\). Ainsi \(f(x) = -2x + 9\).
Vérification : \(f(5) = -2 \times 5 + 9 = -1\). Le résultat est cohérent.
6. Pourcentages et fonctions linéaires
Augmenter ou diminuer une quantité d’un pourcentage fixé est une situation de proportionnalité : on multiplie par un coefficient multiplicateur.
| Variation | Calcul | Coefficient multiplicateur |
|---|---|---|
| Augmentation de \(15\ \%\) | \(1 + \dfrac{15}{100}\) | \(1{,}15\) |
| Diminution de \(30\ \%\) | \(1 - \dfrac{30}{100}\) | \(0{,}70\) |
| Augmentation de \(4\ \%\) | \(1 + \dfrac{4}{100}\) | \(1{,}04\) |
Un casque audio coûte \(80\) €. Son prix augmente de \(15\ \%\). La fonction qui donne le nouveau prix est \(f(x) = 1{,}15x\). Nouveau prix : \(f(80) = 1{,}15 \times 80 = 92\) €. Pour retrouver un prix de départ, on cherche un antécédent : si le prix final est \(138\) €, alors \(x = 138 \div 1{,}15 = 120\) €.
Une hausse de \(20\ \%\) suivie d’une baisse de \(20\ \%\) ne ramène pas au prix de départ : on multiplie par \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\), donc le prix final est \(4\ \%\) plus bas.
7. Problèmes de tarifs
Pour comparer deux tarifs, on traduit chacun par une fonction, puis on compare les images ou on cherche quand elles sont égales. Graphiquement, le point d’intersection des deux droites indique le moment où les deux tarifs coïncident.
Un cinéma propose deux formules pour \(x\) séances : le tarif A à \(9\) € la séance, soit \(A(x) = 9x\), et le tarif B avec une carte à \(24\) € puis \(6\) € la séance, soit \(B(x) = 6x + 24\).
Les prix sont égaux quand \(9x = 6x + 24\), donc \(3x = 24\) et \(x = 8\). Pour \(8\) séances, on paie \(72\) € dans les deux cas : c’est le point \(I(8\ ;\ 72)\) de la figure.
La droite violette (tarif B) est sous la droite orange (tarif A) à droite du point \(I\) : au-delà de \(8\) séances, le tarif B est donc moins cher. En dessous de \(8\) séances, le tarif A est plus avantageux. Par exemple, pour \(10\) séances : \(A(10) = 90\) € et \(B(10) = 84\) €.
À retenir
- Une fonction linéaire s’écrit \(f(x) = ax\) ; sa représentation est une droite passant par l’origine et elle traduit la proportionnalité.
- Une fonction affine s’écrit \(f(x) = ax + b\) ; sa représentation est une droite, avec \(a\) pour coefficient directeur et \(b = f(0)\) pour ordonnée à l’origine.
- Pour tracer une droite, deux points suffisent (un troisième sert à vérifier).
- Coefficient directeur : \(a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}\), puis on trouve \(b\) avec une image connue.
- Augmenter de \(t\ \%\) revient à multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\) ; diminuer de \(t\ \%\) revient à multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
- Pour comparer deux tarifs, on résout l’équation \(f(x) = g(x)\) et on interprète le résultat.
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