Fonctions linéaires et affines : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Images par une fonction linéaire ★★★

On remplace \(x\) par chaque valeur :

\(f(3) = 4 \times 3 = 12\) ; \(f(-2) = 4 \times (-2) = -8\) ; \(f(0{,}5) = 4 \times 0{,}5 = 2\) ; \(f(0) = 0\) ; \(f(2{,}25) = 4 \times 2{,}25 = 9\).

2 Linéaire, affine ou ni l’un ni l’autre ? ★★★

• \(f(x) = 5x\) est linéaire (\(a = 5\)).
• \(g(x) = 3x - 7\) est affine, non linéaire (\(b = -7 \neq 0\)).
• \(h(x) = x^2 + 1\) contient \(x^2\) : ni l’une ni l’autre.
• \(k(x) = -x = -1 \times x\) est linéaire (\(a = -1\)).
• \(m(x) = \dfrac{1}{2}x + 1\) est affine, non linéaire (\(a = \dfrac{1}{2}\), \(b = 1\)).
• \(n(x) = \dfrac{7}{x}\) : \(x\) est au dénominateur, ni l’une ni l’autre.

3 Lire a et b ★★★

On identifie \(a\) et \(b\) dans \(ax + b\) :

• \(f\) : \(a = -3\) et \(b = 8\).
• \(g\) : \(a = 0{,}5\) et \(b = -2\).
• \(h\) : \(a = 6\) et \(b = 0\) (fonction linéaire).
• \(i(x) = -x + 9\) : \(a = -1\) et \(b = 9\).

4 Calculer des images ★★★

\(g(0) = 5\) ; \(g(4) = 2 \times 4 + 5 = 13\) ; \(g(-3) = 2 \times (-3) + 5 = -1\) ; \(g(1{,}5) = 2 \times 1{,}5 + 5 = 8\).

5 Chercher des antécédents ★★★

Un antécédent de \(y\) vérifie \(6x = y\), donc \(x = \dfrac{y}{6}\).

Pour \(42\) : \(x = 7\). Pour \(-18\) : \(x = -3\). Pour \(9\) : \(x = 1{,}5\).

6 Le prix des pommes ★★★

1. Le prix est proportionnel à la masse, donc \(f(x) = 2{,}5x\).
2. \(f(2) = 5\) € ; \(f(5) = 12{,}5\) € ; \(f(12) = 30\) €. Pour \(20\) € : \(2{,}5x = 20\), donc \(x = 8\) kg.

7 Vrai ou faux : un point est-il sur la droite ? ★★★

Un point \(M(x\ ;\ y)\) est sur \(d\) si \(y = 3x\).

• \(A\) : \(3 \times 2 = 6\), donc \(A \in d\).
• \(B\) : \(3 \times (-1) = -3 \neq -4\), donc \(B \notin d\).
• \(C\) : \(3 \times 5 = 15\), donc \(C \in d\).

8 Déterminer une fonction linéaire ★★★

1. \(f\) est linéaire : \(f(x) = ax\) avec \(a = \dfrac{28}{8} = 3{,}5\). Donc \(f(x) = 3{,}5x\).
2. \(f(10) = 3{,}5 \times 10 = 35\).
3. \(3{,}5x = 14\), donc \(x = 14 \div 3{,}5 = 4\).

9 Déterminer une fonction affine (1) ★★★

\(a = \dfrac{f(5) - f(2)}{5 - 2} = \dfrac{16 - 7}{3} = 3\). Donc \(f(x) = 3x + b\).

Comme \(f(2) = 7\) : \(3 \times 2 + b = 7\), donc \(b = 1\). Ainsi \(f(x) = 3x + 1\).

Vérification : \(f(5) = 15 + 1 = 16\).

10 Déterminer une fonction affine (2) ★★★

\(a = \dfrac{-3 - 9}{3 - (-1)} = \dfrac{-12}{4} = -3\). Donc \(g(x) = -3x + b\).

\(g(-1) = 9\) donne \(3 + b = 9\), donc \(b = 6\). Ainsi \(g(x) = -3x + 6\).

L’image de \(0\) est \(g(0) = 6\), c’est l’ordonnée à l’origine.

11 Lecture graphique ★★★

1. La droite coupe l’axe des ordonnées en \(R(0\ ;\ 3)\), donc \(b = 3\).
2. \(a = \dfrac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P} = \dfrac{0 - 2}{6 - 2} = \dfrac{-2}{4} = -0{,}5\).
3. \(f(x) = -0{,}5x + 3\).
4. \(f(4) = -0{,}5 \times 4 + 3 = 1\). L’antécédent de \(0\) vérifie \(-0{,}5x + 3 = 0\), donc \(x = 6\) (c’est l’abscisse de \(Q\)).

12 Tracer une droite ★★★

Tableau : pour \(x = 0\), \(f(0) = -3\) ; pour \(x = 2\), \(f(2) = 1\) ; pour \(x = 3\), \(f(3) = 3\) (vérification).

On place \((0\ ;\ -3)\), \((2\ ;\ 1)\), \((3\ ;\ 3)\) : ils sont alignés, on trace la droite qui les contient.

\(E\) : \(f(4) = 8 - 3 = 5\), donc \(E\) est sur la droite. \(F\) : \(f(-1) = -2 - 3 = -5 \neq -4\), donc \(F\) n’est pas sur la droite.

13 Une hausse de prix ★★★

1. Augmenter de \(12\ \%\) revient à multiplier par \(1{,}12\) : \(f(x) = 1{,}12x\).
2. \(f(25) = 1{,}12 \times 25 = 28\) € ; \(f(150) = 1{,}12 \times 150 = 168\) €.
3. On cherche l’antécédent de \(56\) : \(1{,}12x = 56\), donc \(x = 56 \div 1{,}12 = 50\). Son prix initial était de \(50\) €.

14 Des soldes ★★★

1. Diminuer de \(35\ \%\) revient à multiplier par \(1 - 0{,}35 = 0{,}65\).
2. \(0{,}65 \times 60 = 39\) €.
3. \(0{,}65x = 52\), donc \(x = 52 \div 0{,}65 = 80\) €.

15 Location de vélos ★★★

1. \(A(x) = 12x\) et \(B(x) = 8x + 20\).
2. \(12x = 8x + 20\) donne \(4x = 20\), donc \(x = 5\). Pour \(5\) jours, on paie \(60\) € dans les deux cas.
3. Pour \(3\) jours : \(A(3) = 36\) € et \(B(3) = 44\) €, la formule A est la moins chère. Pour \(7\) jours : \(A(7) = 84\) € et \(B(7) = 76\) €, la formule B est la moins chère.

Conclusion : A est avantageuse pour moins de \(5\) jours, B pour plus de \(5\) jours.

16 Le taxi ★★★

1. \(p(x) = 1{,}8x + 4{,}5\).
2. Elle n’est pas linéaire : \(p(0) = 4{,}5 \neq 0\), le prix n’est pas proportionnel à la distance.
3. \(p(10) = 1{,}8 \times 10 + 4{,}5 = 22{,}5\) €.
4. \(1{,}8x + 4{,}5 = 36\), donc \(1{,}8x = 31{,}5\) et \(x = 17{,}5\). Jade a parcouru \(17{,}5\) km.

17 Trois formules de cinéma ★★★

1. \(A(x) = 8x\), \(B(x) = 5x + 15\), \(C(x) = 50\).
2. A = B : \(8x = 5x + 15\), donc \(x = 5\). B = C : \(5x + 15 = 50\), donc \(x = 7\).
3. Pour \(x \leq 4\) : A est la moins chère (par exemple \(A(4) = 32\), \(B(4) = 35\)). Pour \(x = 5\) : A et B coûtent \(40\) €. Pour \(x = 6\) : \(B(6) = 45\) est la moins chère (\(A(6) = 48\), \(C = 50\)). Pour \(x = 7\) : B et C coûtent \(50\) €. Pour \(x \geq 8\) : C est la moins chère (\(B(8) = 55\)).

18 Un ressort ★★★

1. \(a = \dfrac{23 - 19}{10 - 5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\). Puis \(0{,}8 \times 5 + b = 19\), donc \(b = 15\). Ainsi \(L(x) = 0{,}8x + 15\).
2. À vide, \(x = 0\) : \(L(0) = 15\) cm.
3. \(L(8) = 0{,}8 \times 8 + 15 = 21{,}4\) cm.
4. \(0{,}8x + 15 = 27\), donc \(0{,}8x = 12\) et \(x = 15\) masses.

19 Trois points alignés ? ★★★

1. \(a = \dfrac{9 - 3}{4 - 1} = 2\). Puis \(2 \times 1 + b = 3\), donc \(b = 1\). Ainsi \(f(x) = 2x + 1\).
2. \(f(7) = 15\) : \(C\) est sur la droite, donc \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés. \(f(-2) = -3 \neq -4\) : \(D\) n’est pas sur la droite.

20 Vrai ou faux ? Justifie ★★★

1. Vrai : \(f(a + b) = a'(a + b) = a'a + a'b = f(a) + f(b)\) en notant \(a'\) le coefficient.
2. Faux : avec \(x = 1\), \(f(2) = 8\) mais \(2f(1) = 2 \times 5 = 10\).
3. Faux : \(1{,}2 \times 0{,}8 = 0{,}96\), le prix final est \(4\ \%\) plus bas.
4. Vrai : elles ont le même coefficient directeur \(2\), elles sont parallèles et distinctes (\(3 \neq -5\)). L’équation \(2x + 3 = 2x - 5\) n’a pas de solution.