Pourquoi ne peut-on pas partager 13 billes en groupes égaux, alors que 12 se partagent de plein de façons ? Pourquoi les codes secrets de tes messages reposent-ils sur des nombres que personne ne sait décomposer facilement ? L’arithmétique est l’étude des nombres entiers et de leurs diviseurs. Dans ce chapitre, tu apprends à reconnaître les nombres premiers, à décomposer un entier, à calculer un PGCD et à t’en servir pour simplifier des fractions ou résoudre des problèmes de partage.
1. Multiples et diviseurs
Soient \(a\) et \(b\) deux entiers positifs, avec \(b \neq 0\). Si \(a = b \times k\) où \(k\) est un entier, on dit que \(a\) est un multiple de \(b\), que \(b\) est un diviseur de \(a\), ou encore que \(a\) est divisible par \(b\).
Par exemple, \(91 = 7 \times 13\) : donc \(91\) est un multiple de \(7\) et de \(13\), et \(7\) et \(13\) sont des diviseurs de \(91\). Un entier a toujours pour diviseurs \(1\) et lui-même.
On cherche les produits égaux à \(36\), en prenant les entiers dans l’ordre : \(1 \times 36\), \(2 \times 18\), \(3 \times 12\), \(4 \times 9\), \(6 \times 6\). On s’arrête dès que les deux facteurs se rejoignent.
Les diviseurs de \(36\) sont donc \(1\), \(2\), \(3\), \(4\), \(6\), \(9\), \(12\), \(18\) et \(36\).
2. Les critères de divisibilité
Pour savoir si un grand nombre est divisible par un autre, pas besoin de poser la division : on regarde ses chiffres.
| Divisible par | Critère | Exemple |
|---|---|---|
| \(2\) | le chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8 | \(2\,574\) |
| \(3\) | la somme des chiffres est un multiple de 3 | \(4\,218\) car \(4+2+1+8 = 15\) |
| \(4\) | les deux derniers chiffres forment un multiple de 4 | \(1\,836\) car \(36 = 4 \times 9\) |
| \(5\) | le chiffre des unités est 0 ou 5 | \(3\,765\) |
| \(9\) | la somme des chiffres est un multiple de 9 | \(5\,238\) car \(5+2+3+8 = 18\) |
| \(10\) | le chiffre des unités est 0 | \(4\,790\) |
Un multiple de \(9\) est toujours un multiple de \(3\), mais pas l’inverse : \(4\,218\) est divisible par \(3\) (somme \(15\)) sans être divisible par \(9\).
3. Les nombres premiers
Un nombre premier est un entier supérieur ou égal à \(2\) qui n’a que deux diviseurs : \(1\) et lui-même. Un entier qui a d’autres diviseurs est dit composé.
Les entiers \(0\) et \(1\) ne sont pas premiers. Le nombre \(2\) est le seul nombre premier pair, car tout autre nombre pair est divisible par \(2\). Le crible ci-dessous donne tous les nombres premiers jusqu’à \(50\).
- Calcule la racine carrée du nombre pour savoir jusqu’où chercher.
- Essaie de diviser par chaque nombre premier \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\) inférieur ou égal à cette racine.
- Si aucune division ne tombe juste, le nombre est premier ; sinon il est composé.
On a \(\sqrt{97} \approx 9{,}8\) : il suffit de tester \(2\), \(3\), \(5\) et \(7\). Le nombre \(97\) est impair, la somme de ses chiffres est \(16\) (pas un multiple de 3), il ne finit ni par \(0\) ni par \(5\), et \(97 = 7 \times 13 + 6\).
Aucun de ces nombres ne divise \(97\) : donc \(97\) est premier.
4. Décomposition en facteurs premiers
Tout entier supérieur ou égal à \(2\) s’écrit comme un produit de nombres premiers, et cette écriture est unique (à l’ordre des facteurs près).
- Divise le nombre par le plus petit nombre premier qui le divise.
- Recommence avec le quotient obtenu.
- Arrête-toi quand le quotient vaut \(1\), puis regroupe les facteurs égaux avec des exposants.
\(504 = 2 \times 252 = 2 \times 2 \times 126 = 2 \times 2 \times 2 \times 63 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 21 = 2^3 \times 3 \times 3 \times 7\).
Donc \(504 = 2^3 \times 3^2 \times 7\). Vérification : \(8 \times 9 \times 7 = 504\).
5. Le PGCD de deux nombres
Le PGCD de deux entiers \(a\) et \(b\), noté \(\text{PGCD}(a\,;\,b)\), est le plus grand commun diviseur de \(a\) et de \(b\). Si \(\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1\), les nombres sont dits premiers entre eux.
Avec la décomposition, on garde les facteurs premiers communs, chacun avec le plus petit exposant.
\(84 = 2^2 \times 3 \times 7\) et \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\). Les facteurs communs sont \(2^2\) et \(3\).
\(\text{PGCD}(84\,;\,60) = 2^2 \times 3 = 12\).
Géométriquement, c’est le côté du plus grand carreau carré qui recouvre exactement un rectangle de \(84\) cm sur \(60\) cm : on pose \(7\) carreaux dans la longueur et \(5\) dans la largeur.
6. L’algorithme d’Euclide
Si \(a > b\) et si \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\), alors \(\text{PGCD}(a\,;\,b) = \text{PGCD}(b\,;\,r)\).
- Divise le plus grand nombre par le plus petit et note le reste.
- Divise l’ancien diviseur par ce reste, et continue.
- Le PGCD est le dernier reste non nul.
| Division euclidienne | Reste |
|---|---|
| \(252 = 198 \times 1 + 54\) | \(54\) |
| \(198 = 54 \times 3 + 36\) | \(36\) |
| \(54 = 36 \times 1 + 18\) | \(18\) |
| \(36 = 18 \times 2 + 0\) | \(0\) |
Le dernier reste non nul est \(18\) : \(\text{PGCD}(252\,;\,198) = 18\).
Sur ma planète, on décompose les petits nombres, mais pour les grands, comme \(1\,547\) et \(1\,989\), on lance Euclide : quelques divisions suffisent, sans chercher aucun nombre premier !
7. Les fractions irréductibles
Une fraction \(\dfrac{a}{b}\) est irréductible quand on ne peut plus la simplifier, c’est-à-dire quand \(\text{PGCD}(a\,;\,b) = 1\).
Pour rendre \(\dfrac{a}{b}\) irréductible, on divise le numérateur et le dénominateur par \(\text{PGCD}(a\,;\,b)\).
Avec \(\text{PGCD}(252\,;\,198) = 18\) : \(\dfrac{252}{198} = \dfrac{252 \div 18}{198 \div 18} = \dfrac{14}{11}\). Comme \(14 = 2 \times 7\) et \(11\) est premier, \(\text{PGCD}(14\,;\,11) = 1\) : la fraction est bien irréductible.
Une fraction simplifiée « à moitié » n’est pas la réponse : \(\dfrac{252}{198} = \dfrac{126}{99}\) est vrai, mais \(126\) et \(99\) sont encore divisibles par \(9\). Vérifie toujours que le PGCD final est \(1\).
8. Les problèmes de partage
Les mots-clés t’aident à choisir l’outil : « le plus grand nombre de lots identiques sans reste » ou « le plus grand carreau » demandent un PGCD ; « à quel moment les deux événements se produisent en même temps » demande un multiple commun.
Une fleuriste a \(84\) roses et \(60\) tulipes. Elle veut faire le plus grand nombre de bouquets identiques en utilisant toutes les fleurs.
Le nombre de bouquets divise \(84\) et \(60\) : c’est le plus grand diviseur commun, \(\text{PGCD}(84\,;\,60) = 12\). Elle fait \(12\) bouquets de \(84 \div 12 = 7\) roses et \(60 \div 12 = 5\) tulipes.
Deux feux clignotent, l’un toutes les \(6\) secondes, l’autre toutes les \(9\) secondes, et partent ensemble. Les multiples de \(6\) sont \(6, 12, 18, 24, \dots\) et ceux de \(9\) sont \(9, 18, 27, \dots\) : ils clignotent de nouveau ensemble au bout de \(18\) secondes, puis de \(36\) et de \(54\) secondes.
À retenir
- \(a\) est un multiple de \(b\) quand \(a = b \times k\) avec \(k\) entier ; \(b\) est alors un diviseur de \(a\).
- Les critères de divisibilité par \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(9\), \(10\) se lisent sur les chiffres.
- Un nombre premier a exactement deux diviseurs : \(1\) et lui-même ; \(2\) est le seul premier pair, \(1\) n’est pas premier.
- Tout entier se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers.
- Le PGCD se calcule avec la décomposition (plus petits exposants communs) ou avec l’algorithme d’Euclide (dernier reste non nul).
- On rend une fraction irréductible en divisant haut et bas par le PGCD.
- « Plus grand nombre de lots identiques » : PGCD ; « en même temps » : multiple commun.
Entraîne-toi : défi express de 3ème
Automatismes 3ème : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsArithmétique et nombres premiers : exercices de maths 3ème
📝 Contrôles de mathsArithmétique et nombres premiers : contrôle de maths 3ème
🎯 QCM de mathsArithmétique et nombres premiers : QCM de maths 3ème
✏️ Exercices de mathsRacines carrées : exercices de maths 3ème
✏️ Exercices de mathsPuissances et notation scientifique : exercices de maths 3ème
📝 Contrôles de mathsRacines carrées : contrôle de maths 3ème