Arithmétique et nombres premiers : exercices corrigés de maths 3ème à télécharger en PDF

1 Multiples et diviseurs ★★★

1. \(7\), \(14\), \(21\), \(28\) et \(35\).
2. Oui : \(91 = 7 \times 13\), donc \(91\) est un multiple de \(7\).
3. Non : \(100 = 7 \times 14 + 2\), la division ne tombe pas juste (reste \(2\)).

2 Diviseurs communs ★★★

Diviseurs de \(36\) : \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36\). Diviseurs de \(45\) : \(1, 3, 5, 9, 15, 45\).

Diviseurs communs : \(1\), \(3\) et \(9\). Le plus grand est \(9\), donc \(\text{PGCD}(36\,;\,45) = 9\).

3 Critères en série ★★★

• \(4\,650\) : par \(2\) oui, par \(5\) oui, par \(3\) oui (somme \(15\)), par \(9\) non.
• \(1\,278\) : par \(2\) oui, par \(5\) non, par \(3\) et par \(9\) oui (somme \(18\)).
• \(3\,405\) : par \(2\) non, par \(5\) oui, par \(3\) oui (somme \(12\)), par \(9\) non.
• \(7\,128\) : par \(2\) oui, par \(5\) non, par \(3\) et par \(9\) oui (somme \(18\)).
• \(2\,011\) : somme \(4\), impair, ne finit pas par \(0\) ou \(5\) : par aucun des quatre.

4 Premier ou composé ? ★★★

Les nombres premiers sont \(29\), \(61\) et \(97\) (aucun diviseur autre que \(1\) et eux-mêmes).

Les autres sont composés : \(51 = 3 \times 17\), \(57 = 3 \times 19\), \(87 = 3 \times 29\) (la somme des chiffres est un multiple de \(3\) dans chaque cas).

5 Deux décompositions ★★★

\(60 = 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3 \times 5\).

\(90 = 2 \times 45 = 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2 \times 3^2 \times 5\).

6 Vrai ou faux ? ★★★

1. Faux : \(9 = 3 \times 3\) est impair et n’est pas premier.
2. Vrai : tout autre nombre pair est divisible par \(2\) et possède donc au moins trois diviseurs.
3. Faux : \(1\) n’a qu’un seul diviseur, alors qu’un nombre premier en a exactement deux.
4. Vrai : si \(n = 6k\), alors \(n = 3 \times 2k\), donc \(n\) est divisible par \(3\).

7 Simplifier avec le PGCD ★★★

a) \(\text{PGCD}(18\,;\,24) = 6\), donc \(\dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}\).

b) \(\text{PGCD}(35\,;\,56) = 7\), donc \(\dfrac{35}{56} = \dfrac{5}{8}\).

Les deux fractions obtenues sont irréductibles.

8 Euclide à la main ★★★

1. \(180 = 126 \times 1 + 54\) ; \(126 = 54 \times 2 + 18\) ; \(54 = 18 \times 3 + 0\). Le dernier reste non nul est \(18\) : \(\text{PGCD}(180\,;\,126) = 18\).
2. \(\dfrac{126}{180} = \dfrac{126 \div 18}{180 \div 18} = \dfrac{7}{10}\), irréductible car \(7\) est premier et ne divise pas \(10\).

9 PGCD par décomposition ★★★

\(420 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7\) et \(308 = 2^2 \times 7 \times 11\).

Les facteurs communs sont \(2^2\) et \(7\) : \(\text{PGCD}(420\,;\,308) = 2^2 \times 7 = 28\).

10 Le carrelage de la cuisine ★★★

1. On convertit en centimètres : \(360\) cm et \(264\) cm. Le côté du carreau est le PGCD. \(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\) et \(264 = 2^3 \times 3 \times 11\), donc \(\text{PGCD}(360\,;\,264) = 2^3 \times 3 = 24\). Le côté mesure \(24\) cm.
2. Dans la longueur : \(360 \div 24 = 15\) carreaux ; dans la largeur : \(264 \div 24 = 11\) carreaux. Total : \(15 \times 11 = 165\) carreaux.

11 Fraction à réduire (1) ★★★

\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\) et \(396 = 2^2 \times 3^2 \times 11\). Le PGCD est \(2^2 \times 3 = 12\).

\(\dfrac{168}{396} = \dfrac{168 \div 12}{396 \div 12} = \dfrac{14}{33}\). Comme \(14 = 2 \times 7\) et \(33 = 3 \times 11\) n’ont aucun facteur commun, la fraction est irréductible.

12 Fraction à réduire (2) ★★★

\(156 = 91 \times 1 + 65\) ; \(91 = 65 \times 1 + 26\) ; \(65 = 26 \times 2 + 13\) ; \(26 = 13 \times 2 + 0\). Donc \(\text{PGCD}(156\,;\,91) = 13\).

\(\dfrac{91}{156} = \dfrac{91 \div 13}{156 \div 13} = \dfrac{7}{12}\).

13 Chiffres cachés ★★★

1. La somme des chiffres \(4 + 7 + c = 11 + c\) doit être un multiple de \(9\). Le seul multiple de \(9\) possible est \(18\), donc \(c = 7\) : \(477 = 9 \times 53\).
2. La somme \(3 + c + 4 = 7 + c\) doit être un multiple de \(3\), soit \(9\), \(12\) ou \(15\) : \(c = 2\), \(c = 5\) ou \(c = 8\). Les nombres sont \(324\), \(354\) et \(384\).

14 Premiers entre eux ★★★

\(35 = 5 \times 7\) et \(48 = 2^4 \times 3\) n’ont aucun facteur commun : \(\text{PGCD}(35\,;\,48) = 1\), ils sont premiers entre eux, et \(\dfrac{35}{48}\) est irréductible.

\(56 = 2^3 \times 7\) et \(90 = 2 \times 3^2 \times 5\) ont le facteur \(2\) en commun : \(\text{PGCD}(56\,;\,90) = 2\), ils ne sont pas premiers entre eux, et \(\dfrac{56}{90} = \dfrac{28}{45}\).

15 Les paniers solidaires ★★★

Le nombre de paniers divise \(144\), \(108\) et \(72\) : on cherche leur plus grand diviseur commun. \(144 = 2^4 \times 3^2\), \(108 = 2^2 \times 3^3\), \(72 = 2^3 \times 3^2\). On garde les plus petits exposants : \(2^2 \times 3^2 = 36\).

Elle prépare \(36\) paniers. Chacun contient \(144 \div 36 = 4\) sandwichs, \(108 \div 36 = 3\) jus et \(72 \div 36 = 2\) pommes.

16 Un terrain à daller ★★★

Le côté de la dalle doit diviser \(210\) et \(156\), et être le plus grand possible : c’est le PGCD. \(210 = 2 \times 3 \times 5 \times 7\) et \(156 = 2^2 \times 3 \times 13\), donc \(\text{PGCD}(210\,;\,156) = 2 \times 3 = 6\).

Les dalles ont \(6\) cm de côté : \(210 \div 6 = 35\) dalles dans la longueur et \(156 \div 6 = 26\) dans la largeur. Total : \(35 \times 26 = 910\) dalles.

17 Un carré parfait ★★★

\(360 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Un entier est un carré parfait quand tous les exposants de sa décomposition sont pairs. Ici \(2\) a l’exposant \(3\) et \(5\) l’exposant \(1\) : il faut au moins un facteur \(2\) et un facteur \(5\) en plus.

Le plus petit entier est \(n = 2 \times 5 = 10\). Alors \(360 \times 10 = 3\,600 = 2^4 \times 3^2 \times 5^2 = 60^2\).

18 Démonstrations ★★★

1. Les trois entiers sont \(n\), \(n+1\), \(n+2\) et leur somme est \(3n + 3 = 3(n+1)\), qui est un multiple de \(3\). Par exemple \(7 + 8 + 9 = 24 = 3 \times 8\).
2. Le produit est \(n(n+1)\). Si \(n\) est pair, le produit est pair. Si \(n\) est impair, alors \(n+1\) est pair et le produit est pair aussi. Dans les deux cas, il est pair.

19 Grands nombres ★★★

1. \(1\,989 = 1\,547 \times 1 + 442\) ; \(1\,547 = 442 \times 3 + 221\) ; \(442 = 221 \times 2 + 0\). Le dernier reste non nul est \(221\) : \(\text{PGCD}(1\,989\,;\,1\,547) = 221\).
2. \(\dfrac{1\,547}{1\,989} = \dfrac{1\,547 \div 221}{1\,989 \div 221} = \dfrac{7}{9}\), irréductible car \(7\) est premier et ne divise pas \(9\).

20 Les deux engrenages ★★★

Le nombre de dents passées doit être un multiple de \(24\) et de \(36\), et on cherche le plus petit non nul. Multiples de \(24\) : \(24, 48, 72, \dots\) ; multiples de \(36\) : \(36, 72, \dots\).

Le plus petit multiple commun est \(72\). Les repères se retrouvent face à face après \(72\) dents. La petite roue a fait \(72 \div 24 = 3\) tours et la grande \(72 \div 36 = 2\) tours.