Variations et extremums : exercices corrigés de maths 2de à télécharger en PDF

1 Lire un tableau de variations ★★★

1. Vrai : entre \(-3\) et \(0\), la flèche monte de \(2\) à \(6\).
2. Vrai : \(6\) est atteint en \(x = 0\) et toutes les autres valeurs du tableau sont plus petites.
3. Vrai : \(1\) et \(4\) sont dans \([0\,;\,5]\) où \(u\) est décroissante, et \(1 < 4\), donc \(u(1) > u(4)\), soit \(u(4) < u(1)\).
4. Faux : \(u(5) = -1 < 2\). Le minimum est \(-1\), atteint en \(x = 5\).

2 Une fonction affine croissante ★★★

1. C’est une fonction affine de coefficient \(3 > 0\) : elle est croissante sur \(\mathbb{R}\), donc sur \([-2\,;\,4]\).
2. \(f(-2) = 3 \times (-2) - 5 = -11\) et \(f(4) = 3 \times 4 - 5 = 7\).
4. Le minimum est \(-11\), atteint en \(x = -2\), et le maximum est \(7\), atteint en \(x = 4\).

3 Une fonction affine décroissante ★★★

1. Le coefficient \(-2\) est négatif : \(g\) est décroissante. On a \(g(0) = 7\) et \(g(5) = -10 + 7 = -3\).
   
2. Le maximum est \(7\), atteint en \(0\) ; le minimum est \(-3\), atteint en \(5\).
3. \(g\) est décroissante et \(1{,}2 < 3{,}4\), donc \(g(1{,}2) > g(3{,}4)\). Vérification : \(g(1{,}2) = 4{,}6\) et \(g(3{,}4) = 0{,}2\).

4 Le carré : comparer sans calculatrice ★★★

1. \(2{,}3\) et \(2{,}7\) sont dans \([0\,;\,+\infty[\) où le carré est croissant, et \(2{,}3 < 2{,}7\), donc \(2{,}3^2 < 2{,}7^2\). Contrôle : \(5{,}29 < 7{,}29\).
2. \(-4{,}2\) et \(-3{,}9\) sont dans \(]-\infty\,;\,0]\) où le carré est décroissant, et \(-4{,}2 < -3{,}9\), donc \((-4{,}2)^2 > (-3{,}9)^2\). Contrôle : \(17{,}64 > 15{,}21\).
3. \(0{,}08 < 0{,}8\), tous deux positifs, donc \(0{,}08^2 < 0{,}8^2\). Contrôle : \(0{,}0064 < 0{,}64\).

5 Lecture graphique d’une courbe ★★★

1. La courbe monte de \((0\,;\,0)\) à \((1\,;\,4)\), descend jusqu’à \((3\,;\,0)\), puis remonte jusqu’à \((4\,;\,4)\).
   
2. Le maximum est \(4\), atteint en \(x = 1\) et en \(x = 4\).
3. Le minimum est \(0\), atteint en \(x = 0\) et en \(x = 3\).
4. \(h(x) = 0\) pour \(x = 0\) ou \(x = 3\) ; \(h(x) = 4\) pour \(x = 1\) ou \(x = 4\).

6 Les températures d’une journée de juillet ★★★

1. Le minimum est \(11\) °C à 6 h, le maximum est \(29\) °C à 15 h.
2. La température augmente entre 6 h et 15 h.
3. \(29 - 11 = 18\) : l’écart est de \(18\) °C.
4. \(8\) et \(12\) sont dans \([6\,;\,15]\) où \(T\) est croissante, et \(8 < 12\), donc \(T(8) < T(12)\).

7 Vrai ou faux ? Définitions ★★★

1. Faux : la fonction \(x \mapsto -x + 10\) sur \([0\,;\,5]\) est positive mais décroissante.
2. Faux : \(g(x) = -2x + 7\) est décroissante et \(g(1) = 5 > 0\).
3. Vrai : le carré sur \([-1\,;\,1]\) a pour maximum \(1\), atteint en \(-1\) et en \(1\).
4. Vrai : pour tout \(x\) de \([a\,;\,b]\), on a \(a \leqslant x\), donc \(f(a) \leqslant f(x)\) car \(f\) est croissante.

8 Comparer des images avec un tableau ★★★

1. \(-4\) et \(-2\) sont dans \([-5\,;\,-1]\) où \(f\) décroît ; \(-4 < -2\) donc \(f(-4) > f(-2)\).
2. \(0\) et \(2\) sont dans \([-1\,;\,3]\) où \(f\) croît ; \(0 < 2\) donc \(f(0) < f(2)\).
3. \(5\) et \(7\) sont dans \([3\,;\,8]\) où \(f\) décroît ; \(5 < 7\) donc \(f(5) > f(7)\).
4. \(-3\) est dans \([-5\,;\,-1]\) et \(1\) dans \([-1\,;\,3]\) : ils ne sont pas dans un même intervalle de monotonie. On sait seulement que \(f(-3)\) est entre \(-2\) et \(4\) et \(f(1)\) entre \(-2\) et \(7\) : ces plages se chevauchent, on ne peut pas conclure.

9 Le lancer du ballon ★★★

1. \(h(0) = 0\) et \(h(4) = -5 \times 16 + 80 = 0\) : le ballon est au sol au départ et à l’arrivée.
2. \(20 - 5(t - 2)^2 = 20 - 5(t^2 - 4t + 4) = 20 - 5t^2 + 20t - 20 = -5t^2 + 20t\).
3. Comme \((t - 2)^2 \geqslant 0\), on a \(h(t) \leqslant 20\), avec égalité pour \(t = 2\). Le maximum est \(20\) m, atteint à \(t = 2\) s.
4. \(h\) croît de \(0\) à \(20\) sur \([0\,;\,2]\), puis décroît de \(20\) à \(0\) sur \([2\,;\,4]\).
   
5. \(20 - 5(t - 2)^2 = 15\) donne \((t - 2)^2 = 1\), soit \(t - 2 = 1\) ou \(t - 2 = -1\), donc \(t = 3\) ou \(t = 1\). Le ballon est à \(15\) m à \(1\) s et à \(3\) s.

10 Un minimum à justifier ★★★

1. \(f(-1) = 9 + 1 = 10\), \(f(2) = 0 + 1 = 1\), \(f(5) = 9 + 1 = 10\).
2. Un carré est toujours positif ou nul, donc \((x - 2)^2 \geqslant 0\) et \(f(x) \geqslant 1\). Comme \(f(2) = 1\), le minimum est \(1\), atteint en \(x = 2\).
4. \(0{,}5\) et \(1{,}5\) sont dans \([-1\,;\,2]\) où \(f\) est décroissante, et \(0{,}5 < 1{,}5\), donc \(f(0{,}5) > f(1{,}5)\).

11 Tableaux de signes ★★★

1. \(-2x + 10 = 0\) pour \(x = 5\). Le coefficient de \(x\) est négatif : \(p(x) > 0\) si \(x < 5\), \(p(x) = 0\) si \(x = 5\), \(p(x) < 0\) si \(x > 5\).
2. \(x + 2\) s’annule en \(-2\) et \(x - 5\) en \(5\). On applique la règle des signes d’un produit :
   
3. \(q(x) \geqslant 0\) pour \(x \in ]-\infty\,;\,-2] \cup [5\,;\,+\infty[\). Contrôle : \(q(0) = -10 < 0\), cohérent avec le signe négatif entre \(-2\) et \(5\).

12 Inverse : attention aux intervalles ★★★

1. \(2\) et \(5\) sont dans \(]0\,;\,+\infty[\) et \(2 < 5\), donc \(\dfrac{1}{2} > \dfrac{1}{5}\).
2. \(-4\) et \(-2\) sont dans \(]-\infty\,;\,0[\) et \(-4 < -2\), donc \(\dfrac{1}{-4} > \dfrac{1}{-2}\). Contrôle : \(-0{,}25 > -0{,}5\).
3. \(-3\) et \(3\) ne sont pas dans le même intervalle (l’un est négatif, l’autre positif) : on ne peut pas utiliser la décroissance. En fait \(\dfrac{1}{-3} < 0 < \dfrac{1}{3}\), le résultat de l’élève est faux.

13 Nombre de solutions avec un tableau ★★★

1. Sur \([-4\,;\,0]\), \(k\) décroît de \(3\) à \(-2\) : elle prend la valeur \(0\) une fois. Sur \([0\,;\,2]\), elle croît de \(-2\) à \(1\) : une fois. Sur \([2\,;\,6]\), elle décroît de \(1\) à \(-5\) : une fois. Au total, \(3\) solutions.
2. Sur \([-4\,;\,0]\) et \([0\,;\,2]\), les valeurs restent entre \(-2\) et \(3\) : pas de \(-3\). Sur \([2\,;\,6]\), \(k\) décroît de \(1\) à \(-5\) : une fois. Au total, \(1\) solution.
3. Sur \([-4\,;\,0]\), \(k\) décroît de \(3\) à \(-2\) : une fois. Sur \([0\,;\,2]\) et \([2\,;\,6]\), les valeurs sont au plus \(1\) : jamais. Au total, \(1\) solution.

14 Le bénéfice d’un atelier ★★★

1. \(B(0) = -40\), \(B(6) = -72 + 144 - 40 = 32\), \(B(12) = -288 + 288 - 40 = -40\).
2. \(32 - 2(x - 6)^2 = 32 - 2x^2 + 24x - 72 = -2x^2 + 24x - 40\).
3. \((x - 6)^2 \geqslant 0\), donc \(B(x) \leqslant 32\), avec égalité en \(x = 6\). Le bénéfice maximal est \(32\) centaines d’euros, soit \(3\,200\) €, pour \(600\) objets vendus.
4. \(32 - 2(x - 6)^2 = 0\) donne \((x - 6)^2 = 16\), donc \(x = 2\) ou \(x = 10\). Entre ces valeurs, \(B\) est positive (elle vaut \(32\) en \(6\)) ; en dehors, elle est négative.
   
5. L’atelier gagne de l’argent si \(2 < x < 10\), c’est-à-dire pour plus de \(200\) et moins de \(1\,000\) objets vendus.

15 Prouver une variation : l’inverse ★★★

Soient \(0 < a < b\). Alors \(f(a) - f(b) = \dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b} = \dfrac{b - a}{ab}\).

Le numérateur \(b - a\) est strictement positif car \(a < b\). Le dénominateur \(ab\) est strictement positif car \(a\) et \(b\) le sont. Donc \(f(a) - f(b) > 0\), c’est-à-dire \(f(a) > f(b)\).

Ainsi \(a < b\) entraîne \(f(a) > f(b)\) : la fonction inverse est strictement décroissante sur \(]0\,;\,+\infty[\).

16 Étudier \(x^2 + 4x\) ★★★

1. \((x + 2)^2 - 4 = x^2 + 4x + 4 - 4 = x^2 + 4x\).
2. Comme \((x + 2)^2 \geqslant 0\), on a \(f(x) \geqslant -4\), avec égalité pour \(x = -2\). Le minimum de \(f\) est \(-4\), atteint en \(x = -2\).
3. \(f(b) - f(a) = b^2 - a^2 + 4(b - a) = (b - a)(b + a) + 4(b - a) = (b - a)(a + b + 4)\). Or \(b - a > 0\), et \(a + 2 \geqslant 0\) et \(b + 2 > 0\), donc \(a + b + 4 > 0\). Ainsi \(f(b) - f(a) > 0\) : \(f\) est croissante sur \([-2\,;\,+\infty[\).
4. \(0{,}5\) et \(3\) sont dans \([-2\,;\,+\infty[\) et \(0{,}5 < 3\), donc \(f(0{,}5) < f(3)\). Calculs : \(f(0{,}5) = 0{,}25 + 2 = 2{,}25\) et \(f(3) = 9 + 12 = 21\).

17 L’enclos du jardinier ★★★

1. Le périmètre est \(40\) m, donc la somme largeur plus longueur vaut \(20\) : la longueur est \(20 - x\). L’aire est \(A(x) = x(20 - x) = -x^2 + 20x\).
2. \(100 - (x - 10)^2 = 100 - x^2 + 20x - 100 = -x^2 + 20x\).
3. \((x - 10)^2 \geqslant 0\), donc \(A(x) \leqslant 100\), avec égalité en \(x = 10\). L’aire maximale est \(100\) m². Alors la longueur est \(20 - 10 = 10\) m : l’enclos est un carré de \(10\) m de côté.
4. \(A(b) - A(a) = 20b - b^2 - 20a + a^2 = 20(b - a) - (b - a)(b + a) = (b - a)(20 - a - b)\). Comme \(a < b \leqslant 10\), on a \(a + b < 20\), donc \(20 - a - b > 0\) ; avec \(b - a > 0\), on obtient \(A(b) > A(a)\) : \(A\) est croissante sur \([0\,;\,10]\).
5. \(100 - (x - 10)^2 = 96\) donne \((x - 10)^2 = 4\), soit \(x = 8\) ou \(x = 12\). Elle peut choisir un enclos de \(8\) m sur \(12\) m (dans les deux cas, longueur et largeur sont \(8\) et \(12\)).

18 Compter les solutions, cas limite ★★★

1. Sur \([-3\,;\,1]\), \(f\) croît de \(-4\) à \(2\) : elle prend la valeur \(0\) une fois. Sur \([1\,;\,4]\), elle décroît de \(2\) à \(-3\) : une fois. Sur \([4\,;\,9]\), elle croît de \(-3\) à \(5\) : une fois. Au total, \(3\) solutions.
2. Sur \([-3\,;\,4]\), les valeurs restent entre \(-4\) et \(2\), jamais \(3\). Sur \([4\,;\,9]\), \(f\) croît de \(-3\) à \(5\) : une fois. Au total, \(1\) solution.
3. Sur \([-3\,;\,1]\), \(f\) croît de \(-4\) à \(2\) : elle prend la valeur \(-3\) une fois, dans \(]-3\,;\,1[\). Sur \([1\,;\,4]\), elle décroît de \(2\) à \(-3\) : la valeur \(-3\) n’est atteinte qu’en \(x = 4\). Sur \([4\,;\,9]\), elle est supérieure à \(-3\) après \(4\). Au total, \(2\) solutions : une dans \(]-3\,;\,1[\) et \(x = 4\).
4. Le maximum de \(f\) est \(5\), donc \(f(x) = 6\) n’a aucune solution.

19 Inventer une fonction ★★★

On propose \(f(x) = 5 - x^2\).

Maximum : \(x^2 \geqslant 0\), donc \(f(x) \leqslant 5\), avec égalité seulement si \(x = 0\). Le maximum est \(5\), atteint en \(0\) seulement.

Minimum : pour \(x\) dans \([-3\,;\,3]\), on a \(x^2 \leqslant 9\), donc \(f(x) \geqslant 5 - 9 = -4\). Et \(f(-3) = f(3) = 5 - 9 = -4\). Le minimum est \(-4\), atteint en \(-3\) et en \(3\).

Variations : \(f\) est croissante sur \([-3\,;\,0]\) et décroissante sur \([0\,;\,3]\).

20 Vrai ou faux ? Raisonnements ★★★

1. Vrai. Soient \(a < b\) dans \([0\,;\,7]\). Si \(a\) et \(b\) sont dans le même intervalle, c’est acquis. Sinon \(a \leqslant 3 \leqslant b\) et \(f(a) \leqslant f(3) \leqslant f(b)\) par croissance sur chaque morceau.
2. Vrai. Pour \(x\) dans \([-2\,;\,0]\), \(x \leqslant 0\) donc \(f(x) \leqslant f(0)\). Pour \(x\) dans \([0\,;\,2]\), \(0 \leqslant x\) donc \(f(x) \leqslant f(0)\).
3. Faux. Contre-exemple : \(f(x) = -(x - 1{,}7)^2\). On a \(f(1) = -0{,}49\) et \(f(2) = -0{,}09\), donc \(f(1) < f(2)\). Pourtant \(f(1{,}5) = -0{,}04 > f(2)\) alors que \(1{,}5 < 2\) : \(f\) n’est pas croissante sur \([1\,;\,2]\).