Dénombrement et probabilités : cours de maths Maths Sup à télécharger en PDF
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Compter les issues d’une expérience, puis mesurer leurs chances : ces deux gestes sont indissociables. Ce chapitre construit les outils de dénombrement (cardinaux, arrangements, combinaisons), puis les utilise pour définir des probabilités sur un univers fini, conditionner, inverser un conditionnement (formule de Bayes), traduire l’indépendance et résumer une variable aléatoire par son espérance et sa variance.
Cardinal Un ensemble fini \(E\) possède \(n\) éléments si ses éléments peuvent être mis en bijection avec \(\{1,\dots,n\}\). On note \(|E|=\operatorname{Card}(E)=n\). Par convention \(|\varnothing|=0\).
Règles de base Pour des ensembles finis \(A\), \(B\) :
\(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\) (principe d’inclusion-exclusion à deux ensembles) ;
plus généralement, formule du crible : \(\Big|\bigcup_{i=1}^nA_i\Big|=\sum_{k=1}^n(-1)^{k+1}\sum_{i_1<\cdots
si \(A\subset E\), alors \(|\overline{A}|=|E|-|A|\) ;
\(|A\times B|=|A|\,|B|\) (produit cartésien) ;
\(|\mathcal P(E)|=2^{|E|}\) : un ensemble à \(n\) éléments possède \(2^n\) parties.
Le principe additif dit que si une expérience se partage en cas disjoints, on additionne les nombres de façons. Le principe multiplicatif dit que si l’on réalise successivement \(k\) choix possédant \(n_1,n_2,\dots,n_k\) options (indépendamment du détail des choix précédents), on obtient \(n_1n_2\cdots n_k\) résultats. Un choix ordonné avec répétitions possibles de \(p\) éléments parmi \(n\) (une \(p\)-liste) se fait de \(n^p\) façons.
Exemple 1 Un code d’accès comporte trois lettres de l’alphabet (26 lettres), puis deux chiffres. Les choix sont successifs et indépendants : \(26^3\times 10^2=17\,576\times100=1\,757\,600\) codes. Un tel code ne comportant que des voyelles (6 lettres) donne \(6^3\times10^2=21\,600\) codes.
La figure ci-dessus illustre l’inclusion-exclusion : avec \(|A|=30\), \(|B|=22\) et \(|A\cap B|=9\), on obtient \(|A\cup B|=30+22-9=43\), et 17 éléments de l’univers de 60 issues restent hors de \(A\cup B\).
2. Arrangements et permutations
Arrangement Un arrangement de \(p\) éléments parmi \(n\) est une liste ordonnée de \(p\) éléments deux à deux distincts de l’ensemble. Leur nombre est \[A_n^p=n(n-1)\cdots(n-p+1)=\dfrac{n!}{(n-p)!}\quad(0\le p\le n).\] Pour \(p=n\), on parle de permutation : il y a \(n!\) façons d’ordonner \(n\) objets.
Exemple 2 Neuf athlètes disputent une finale ; le podium (ordre or, argent, bronze) se choisit de \(A_9^3=9\times8\times7=504\) façons. Les anagrammes du mot « RADAR » (lettres R et A répétées deux fois) sont au nombre de \(\dfrac{5!}{2!\,2!}=30\) : on divise par le nombre d’ordres des lettres identiques.
Attention Un arrangement tient compte de l’ordre et interdit les répétitions ; une \(p\)-liste tient compte de l’ordre et autorise les répétitions. Avant de calculer, demande-toi toujours : « l’ordre compte-t-il ? les répétitions sont-elles permises ? »
3. Combinaisons et coefficients binomiaux
Combinaison Une combinaison de \(p\) éléments parmi \(n\) est une partie à \(p\) éléments d’un ensemble à \(n\) éléments (sans ordre). Leur nombre est le coefficient binomial \[\dbinom{n}{p}=\dfrac{n!}{p!\,(n-p)!}=\dfrac{A_n^p}{p!}.\]
Chaque combinaison donne \(p!\) arrangements en ordonnant ses éléments : d’où \(A_n^p=p!\dbinom np\).
Propriétés Pour \(0\le p\le n\) :
symétrie : \(\dbinom np=\dbinom n{n-p}\) ;
formule de Pascal : \(\dbinom{n}{p}+\dbinom{n}{p+1}=\dbinom{n+1}{p+1}\) ;
formule du binôme : \((a+b)^n=\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk a^kb^{n-k}\), d’où \(\displaystyle\sum_{k=0}^n\dbinom nk=2^n\).
Démonstration de la formule de Pascal. Parmi les parties à \(p+1\) éléments de \(\{1,\dots,n+1\}\), celles qui contiennent \(n+1\) sont en bijection avec les parties à \(p\) éléments de \(\{1,\dots,n\}\) (on retire \(n+1\)) : il y en a \(\binom np\). Celles qui ne le contiennent pas sont des parties à \(p+1\) éléments de \(\{1,\dots,n\}\) : il y en a \(\binom n{p+1}\). On additionne.
n \ k
0
1
2
3
4
5
6
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
Exemple 3 Un groupe compte 12 élèves dont 5 filles. On choisit un trio de 3 élèves. Nombre de trios : \(\dbinom{12}{3}=220\). Trios sans fille : \(\dbinom73=35\). Trios avec au moins une fille : \(220-35=185\) (passage au complémentaire).
Méthode : dénombrer
Décrire l’expérience par une suite de choix et repérer si l’ordre compte.
Si l’ordre compte : \(n^p\) (répétitions permises) ou \(A_n^p\) (sans répétition) ; sinon \(\binom np\).
Traiter les cas par disjonction (addition), les étapes par multiplication, et penser au complémentaire pour « au moins un ».
4. Espaces probabilisés finis
Probabilité Soit \(\Omega\) un ensemble fini (l’univers). Une probabilité sur \(\mathcal P(\Omega)\) est une application \(P:\mathcal P(\Omega)\to[0,1]\) telle que \(P(\Omega)=1\) et, pour deux événements incompatibles (\(A\cap B=\varnothing\)), \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)\). On en déduit \(P(\overline A)=1-P(A)\), \(P(\varnothing)=0\) et \(P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Une probabilité sur un univers fini est entièrement déterminée par les nombres \(p_\omega=P(\{\omega\})\ge0\), de somme 1 : \(P(A)=\sum_{\omega\in A}p_\omega\). Dans le cas de l’équiprobabilité (tirage « au hasard » sans préférence), \[P(A)=\dfrac{|A|}{|\Omega|}=\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}.\]
Exemple 4 On tire simultanément 2 cartes dans un jeu de 32 cartes. Il y a \(\binom{32}{2}=496\) tirages équiprobables. La probabilité de tirer deux cœurs (8 cœurs) est \(\dfrac{\binom82}{\binom{32}2}=\dfrac{28}{496}=\dfrac{7}{124}\).
5. Probabilités conditionnelles
Probabilité conditionnelle Si \(P(B)>0\), la probabilité de \(A\) sachant \(B\) est \[P_B(A)=P(A\mid B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}.\] L’application \(P_B\) est elle-même une probabilité sur \(\Omega\).
Trois formules
Probabilités composées : \(P(A\cap B)=P(B)\,P_B(A)\) et, pour \(A_1,\dots,A_n\) avec \(P(A_1\cap\cdots\cap A_{n-1})>0\), \(P(A_1\cap\cdots\cap A_n)=P(A_1)P_{A_1}(A_2)\cdots P_{A_1\cap\cdots\cap A_{n-1}}(A_n)\).
Système complet d’événements : des événements \(B_1,\dots,B_n\) deux à deux incompatibles, de réunion \(\Omega\), de probabilités non nulles, forment un système complet.
Probabilités totales : pour un tel système, \(P(A)=\sum_{i=1}^nP(B_i)\,P_{B_i}(A)\).
Exemple 5 Une urne contient 4 boules vertes et 6 jaunes. On tire deux boules successivement sans remise. La probabilité de deux boules vertes est \(\dfrac4{10}\times\dfrac39=\dfrac{2}{15}\), par la formule des probabilités composées.
6. Formule de Bayes
Formule de Bayes Si \(P(A)>0\), \(P(B)>0\) : \[P_A(B)=\dfrac{P_B(A)\,P(B)}{P(A)}.\] Pour un système complet \((B_i)\) : \[P_A(B_j)=\dfrac{P_{B_j}(A)\,P(B_j)}{\sum_{i}P_{B_i}(A)\,P(B_i)}.\]
Elle inverse un conditionnement : on connaît « la cause donne l’effet », on cherche « l’effet observé, quelle cause ? ». Elle découle de \(P(A\cap B)=P(B)P_B(A)=P(A)P_A(B)\), puis des probabilités totales au dénominateur.
Exemple 6 Une maladie touche 2 % d’une population. Un test est positif dans 95 % des cas chez un malade et dans 4 % des cas chez un sujet sain. Avec M « malade » et T « test positif », les probabilités totales donnent \(P(T)=0{,}02\times0{,}95+0{,}98\times0{,}04=0{,}0582\), puis \(P_T(M)=\dfrac{0{,}019}{0{,}0582}=\dfrac{95}{291}\approx0{,}326\). Un test positif ne signifie donc qu’environ une chance sur trois d’être malade : la maladie est rare.
7. Indépendance
Événements indépendants Deux événements \(A\) et \(B\) sont indépendants si \(P(A\cap B)=P(A)\,P(B)\). Si \(P(B)>0\), cela équivaut à \(P_B(A)=P(A)\) : savoir que \(B\) est réalisé ne change pas la probabilité de \(A\). Des événements \(A_1,\dots,A_n\) sont mutuellement indépendants si, pour toute sous-famille d’indices \(I\), \(P\big(\bigcap_{i\in I}A_i\big)=\prod_{i\in I}P(A_i)\).
Stabilité Si \(A\) et \(B\) sont indépendants, alors \(A\) et \(\overline B\), \(\overline A\) et \(B\), \(\overline A\) et \(\overline B\) le sont aussi. En effet \(P(A\cap\overline B)=P(A)-P(A\cap B)=P(A)\,(1-P(B))=P(A)P(\overline B)\).
Attention Incompatibles et indépendants sont deux notions très différentes : deux événements incompatibles de probabilités non nulles ne sont jamais indépendants, puisque \(P(A\cap B)=0\ne P(A)P(B)\).
Exemple 7 On lance deux dés équilibrés. \(A\) : « la somme vaut 7 », \(B\) : « le premier dé donne 3 ». \(P(A)=\frac16\), \(P(B)=\frac16\), \(P(A\cap B)=\frac1{36}=P(A)P(B)\) : \(A\) et \(B\) sont indépendants.
8. Variables aléatoires finies, espérance et variance
Variable aléatoire Une variable aléatoire réelle finie \(X\) est une application \(X:\Omega\to\mathbb R\). Sa loi est la donnée des valeurs \(x_1,\dots,x_r\) prises et des probabilités \(p_i=P(X=x_i)\), de somme 1. Son espérance est \(E(X)=\sum_i x_ip_i\) et sa variance \(V(X)=E\big((X-E(X))^2\big)=\sum_i p_i\,(x_i-E(X))^2\), l’écart type étant \(\sigma(X)=\sqrt{V(X)}\).
Propriétés
linéarité : \(E(aX+b)=aE(X)+b\) ;
transfert : \(E(f(X))=\sum_i f(x_i)\,p_i\) ;
formule de Kœnig-Huygens : \(V(X)=E(X^2)-E(X)^2\) ;
\(V(aX+b)=a^2V(X)\).
Démonstration de Kœnig-Huygens. Avec \(m=E(X)\), \(E((X-m)^2)=E(X^2-2mX+m^2)=E(X^2)-2m\,E(X)+m^2=E(X^2)-m^2\), par linéarité.
Exemple 8 Trois pièces équilibrées sont lancées ; \(X\) est le nombre de piles. La loi est \(P(X=k)=\binom3k/8\), soit \(\frac18,\frac38,\frac38,\frac18\). Alors \(E(X)=\frac{0+3+6+3}{8}=\frac32\), \(E(X^2)=\frac{0+3+12+9}8=3\) et \(V(X)=3-\frac94=\frac34\).
Loi binomiale Si l’on répète \(n\) fois, de façon indépendante, une épreuve de succès de probabilité \(p\), le nombre \(X\) de succès suit la loi binomiale \(\mathcal B(n,p)\) : \[P(X=k)=\dbinom nk p^k(1-p)^{n-k},\qquad E(X)=np,\qquad V(X)=np(1-p).\]
Astuce de Zyro Avant de te lancer dans les formules, regarde si l’énoncé parle de répétitions indépendantes à deux issues : c’est le signal d’une loi binomiale. Sinon, dresse le tableau de la loi et calcule \(E(X)\) puis \(E(X^2)\).
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