Dénombrement et probabilités : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Union de deux groupes ★★★

Par inclusion-exclusion, \(|A\cup B|=48+35-12=71\). Ils sont donc 71 à pratiquer au moins un des deux sports.

Basket seul : \(48-12=36\) ; volley seul : \(35-12=23\) ; un seul sport : \(36+23=59\). Vérification : \(59+12=71\).

2 Menus du restaurant ★★★

Trois choix successifs indépendants : \(4\times5\times3=60\) menus.

Si renoncer au dessert est possible, le dessert offre \(3+1=4\) options : \(4\times5\times4=80\) menus.

3 Codes de casier ★★★

a) \(10^4=10\,000\) (4-listes).

b) \(A_{10}^4=10\times9\times8\times7=5\,040\).

c) Le premier chiffre est imposé, puis 9, 8 et 7 options : \(9\times8\times7=504\).

d) Chiffres pairs : 0, 2, 4, 6, 8, soit \(5^4=625\) codes.

4 Le podium ★★★

L’ordre compte et les médaillés sont distincts : \(A_8^3=8\times7\times6=336\) podiums.

Sans ordre : \(\dbinom83=\dfrac{336}{3!}=56\) groupes de médaillés.

5 Calculs de coefficients ★★★

\(\dbinom92=\dfrac{9\times8}{2}=36\) ; \(\dbinom{10}0=1\) ; par symétrie \(\dbinom86=\dbinom82=28\) ; \(\dbinom{15}{13}=\dbinom{15}2=105\).

Pascal : \(\dbinom63+\dbinom64=20+15=35=\dbinom74\) (car \(\dfrac{7\times6\times5\times4}{24}=35\)).

6 Un dé équilibré ★★★

Équiprobabilité sur \(\{1,\dots,6\}\) : \(P(A)=\frac36=\frac12\) ; \(B=\{5,6\}\) donc \(P(B)=\frac13\) ; \(C=\{3,6\}\) donc \(P(C)=\frac13\).

\(A\cap C=\{6\}\), donc \(P(A\cup C)=\frac12+\frac13-\frac16=\frac23\). On retrouve \(A\cup C=\{2,3,4,6\}\) : 4 cas sur 6.

7 La roue de la fête ★★★

Les probabilités sont bien de somme \(\frac48+\frac38+\frac18=1\). \(E(X)=0\times\frac12+2\times\frac38+10\times\frac18=\frac68+\frac{10}8=2\).

Le gain moyen est de 2 € : avec une mise de 2 €, l’espérance du gain net est nulle, le jeu est équitable.

8 Anagrammes de RADAR ★★★

Il y a 5 lettres dont R deux fois et A deux fois : \(\dfrac{5!}{2!\,2!}=\dfrac{120}{4}=30\).

Autre méthode : choisir les 2 places des R parmi 5 (\(\binom52=10\)), puis les 2 places des A parmi les 3 restantes (\(\binom32=3\)), la lettre D occupant la dernière : \(10\times3=30\).

9 Un comité mixte ★★★

a) \(\dbinom{15}4=1\,365\).

b) 2 femmes parmi 6 et 2 hommes parmi 9 : \(\dbinom62\dbinom92=15\times36=540\).

c) Complémentaire « aucune femme » : \(\dbinom94=126\). D’où \(1\,365-126=1\,239\) comités.

10 Tirage sans remise ★★★

Probabilités composées : \(P(RR)=\frac58\times\frac47=\frac{5}{14}\) ; \(P(BB)=\frac38\times\frac27=\frac3{28}\).

Ces deux cas sont incompatibles : \(P(\text{même couleur})=\frac5{14}+\frac3{28}=\frac{10+3}{28}=\frac{13}{28}\).

11 Pièces défectueuses ★★★

\(\{A,B\}\) est un système complet. Probabilités totales : \(P(D)=0{,}6\times0{,}02+0{,}4\times0{,}05=0{,}012+0{,}02=0{,}032\).

Bayes : \(P_D(A)=\dfrac{0{,}012}{0{,}032}=\dfrac38=0{,}375\).

12 Dés indépendants ou non ? ★★★

\(P(A)=\frac6{36}=\frac16\), \(P(B)=\frac16\), \(A\cap B=\{(3,4)\}\) donc \(P(A\cap B)=\frac1{36}=P(A)P(B)\) : indépendants.

\(P(C)=\frac5{36}\) ; \(B\cap C=\{(3,5)\}\), \(P(B\cap C)=\frac1{36}=\frac6{216}\), alors que \(P(B)P(C)=\frac5{216}\). Ces valeurs diffèrent : \(B\) et \(C\) ne sont pas indépendants.

13 Pile ou face, trois fois ★★★

\(P(X=k)=\binom3k/8\) : \(\frac18,\frac38,\frac38,\frac18\) pour \(k=0,1,2,3\).

\(E(X)=\frac{3+6+3}{8}=\frac32\). \(E(X^2)=\frac{3+12+9}8=3\). Kœnig-Huygens : \(V(X)=3-\frac94=\frac34\).

14 Une identité sur les binomiaux ★★★

a) \(k\dbinom nk=k\dfrac{n!}{k!(n-k)!}=\dfrac{n!}{(k-1)!(n-k)!}=n\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!\,((n-1)-(k-1))!}=n\dbinom{n-1}{k-1}\).

b) Le terme \(k=0\) est nul. Donc \(\sum_{k=1}^nk\binom nk=n\sum_{k=1}^n\binom{n-1}{k-1}=n\sum_{j=0}^{n-1}\binom{n-1}{j}=n\,2^{n-1}\).

c) \(n=5\) : \(0+5+20+30+20+5=80=5\times16\).

15 Parties de cardinal pair ★★★

Binôme : \(2^n=\sum_{k}\binom nk\) et \(0=(1-1)^n=\sum_k(-1)^k\binom nk\). Notons \(P\) la somme des \(\binom nk\) pour \(k\) pair et \(I\) pour \(k\) impair : \(P+I=2^n\) et \(P-I=0\).

Donc \(P=I=2^{n-1}\). Pour \(n=8\) : \(2^7=128\) parties de cardinal pair (vérification : \(1+28+70+28+1=128\)).

16 Permutations sans point fixe ★★★

Notons \(F_i\) « la lettre \(i\) est bien placée ». Le nombre de permutations fixant au moins une lettre est, par inclusion-exclusion, \(\binom41\,3!-\binom42\,2!+\binom43\,1!-\binom44\,0!=24-12+4-1=15\).

Aucun point fixe : \(4!-15=9\) permutations. Probabilité : \(\dfrac9{24}=\dfrac38\).

17 Chemins sur une grille ★★★

a) Un chemin est une suite de 9 pas dont on choisit les 4 pas « vers le haut » : \(\binom94=126\).

b) De D à P : \(\binom42=6\) chemins ; de P à F (3 pas à droite, 2 vers le haut) : \(\binom52=10\). Total \(6\times10=60\).

c) \(126-60=66\).

d) \(\dfrac{60}{126}=\dfrac{10}{21}\).

18 Trois usines ★★★

Probabilités totales : \(P(D)=0{,}5\times0{,}01+0{,}3\times0{,}02+0{,}2\times0{,}05=0{,}005+0{,}006+0{,}010=0{,}021\).

Bayes : \(P_D(U_1)=\frac{0{,}005}{0{,}021}=\frac5{21}\), \(P_D(U_2)=\frac{0{,}006}{0{,}021}=\frac27\), \(P_D(U_3)=\frac{0{,}010}{0{,}021}=\frac{10}{21}\approx0{,}476\).

Somme : \(\frac5{21}+\frac6{21}+\frac{10}{21}=1\). L’usine 3, pourtant la plus petite, est la plus probable cause.

19 Premier pile, au plus quatre lancers ★★★

\(P(X=1)=\frac12\), \(P(X=2)=\frac14\), \(P(X=3)=\frac18\), et \(P(X=4)=\frac18\) (trois faces d’affilée, quel que soit le dernier lancer). Somme : 1.

\(E(X)=\frac12+\frac24+\frac38+\frac48=\frac{15}8\).

\(E(X^2)=\frac12+1+\frac98+2=\frac{37}8\), donc \(V(X)=\frac{37}8-\frac{225}{64}=\frac{296-225}{64}=\frac{71}{64}\).

20 QCM au hasard ★★★

Dix épreuves indépendantes, succès de probabilité \(\frac14\) : \(X\sim\mathcal B(10,\frac14)\). \(E(X)=2{,}5\) ; \(V(X)=10\times\frac14\times\frac34=\frac{15}8\).

\(P(X=3)=\binom{10}3\left(\frac14\right)^3\left(\frac34\right)^7=\dfrac{120\times2\,187}{4^{10}}=\dfrac{32\,805}{131\,072}\approx0{,}250\).

\(P(X\ge1)=1-\left(\frac34\right)^{10}=1-\frac{59\,049}{1\,048\,576}\approx0{,}944\).

21 Jours de la semaine ★★★

L’univers compte \(7^5=16\,807\) 5-listes équiprobables. Le complémentaire « jours tous distincts » compte \(A_7^5=7\times6\times5\times4\times3=2\,520\) listes.

\(P=1-\dfrac{2\,520}{16\,807}=\dfrac{14\,287}{16\,807}\approx0{,}850\).

22 Indépendance et complémentaire ★★★

a) \(P(\overline A\cap\overline B)=1-P(A\cup B)=1-P(A)-P(B)+P(A)P(B)=(1-P(A))(1-P(B))=P(\overline A)P(\overline B)\).

b) \(P(A\cap B)=0{,}15\), donc \(P(A\cup B)=0{,}3+0{,}5-0{,}15=0{,}65\). \(P(A\cap\overline B)=0{,}3\times0{,}5=0{,}15\). \(P(\overline A\cap\overline B)=0{,}7\times0{,}5=0{,}35=1-0{,}65\).