23 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Sous-espace ou non ? ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), dire si les parties suivantes sont des sous-espaces vectoriels : \(A=\{(x,y)\mid x=2y\}\), \(B=\{(x,y)\mid x+y=1\}\), \(C=\{(x,y)\mid xy=0\}\).
2 Appartenance à un Vect ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), \(u=(1,2)\) et \(v=(3,1)\). Le vecteur \((7,4)\) est-il dans \(\operatorname{Vect}(u,v)\) ?
3 Linéaire ou non ? ★★★
Dire si les applications suivantes de \(\mathbb{R}^2\) dans \(\mathbb{R}^2\) sont linéaires : \(f(x,y)=(2x-y,\,x+3y)\) ; \(g(x,y)=(x+1,\,y)\) ; \(h(x,y)=(xy,\,x)\).
4 Libre ou liée dans le plan ★★★
Dans \(\mathbb{R}^2\), dire si les familles \(((1,2),(2,4))\), \(((1,2),(2,1))\) et \(((1,2),(2,1),(0,1))\) sont libres ou liées.
5 Calculer des dimensions ★★★
Donner la dimension de : \(\mathbb{R}^5\) ; \(\mathbb{R}_3[X]\) ; \(\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})\) ; \(\operatorname{Vect}((1,0),(2,0))\) ; \(\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid z=0\}\).
6 Coordonnées dans une base ★★★
On admet que \(\mathcal{B}=((1,0,0),(1,1,0),(1,1,1))\) est une base de \(\mathbb{R}^3\). Déterminer les coordonnées de \((3,-1,2)\) dans \(\mathcal{B}\).
7 Noyau et image d’un exemple simple ★★★
Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(f(x,y)=(x-y,\,2x-2y)\). Déterminer \(\operatorname{Ker} f\), \(\operatorname{Im} f\) et vérifier le théorème du rang.
8 Un plan défini par deux équations ★★★
Soit \(F=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3\mid x+y+z=0\text{ et }x-y=0\}\). Montrer que \(F\) est un sev et donner une base.
9 Base d’un sev de R4 ★★★
Soit \(G=\{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\mid x+y=0\text{ et }z=t\}\). Déterminer une base de \(G\) et sa dimension.
10 Une base de R3 ★★★
Montrer que \(((1,0,1),(1,1,0),(0,1,1))\) est une base de \(\mathbb{R}^3\).
11 Polynômes s’annulant en 1 ★★★
Soit \(F=\{P\in\mathbb{R}_2[X]\mid P(1)=0\}\). Montrer que \(F\) est un sev de \(\mathbb{R}_2[X]\) et en donner une base.
12 Noyau et image en dimension 3 ★★★
Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(f(x,y,z)=(x+y,\,y+z,\,x-z)\). Déterminer \(\operatorname{Ker} f\), \(\operatorname{Im} f\) et le rang de \(f\).
13 Injective mais pas surjective ★★★
Soit \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\), \(f(x,y)=(x+y,\,x-y,\,2x)\). Montrer que \(f\) est injective, calculer son rang et dire si elle est surjective.
14 Un projecteur du plan ★★★
Soit \(p:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2\), \(p(x,y)=(x-y,\,0)\). Montrer que \(p\) est un projecteur, puis déterminer \(\operatorname{Ker} p\) et \(\operatorname{Im} p\).
15 Une somme directe dans R3 ★★★
Soit \(F=\operatorname{Vect}((1,1,0),(0,1,1))\) et \(G=\operatorname{Vect}((1,0,1))\). Montrer que \(\mathbb{R}^3=F\oplus G\) et décomposer \((1,2,3)\).
16 Le théorème du rang en action ★★★
Soit \(f:\mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3\) linéaire de rang \(2\). Quelle est la dimension de \(\operatorname{Ker} f\) ? \(f\) est-elle injective ? surjective ? Même question pour \(g:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\) avec \(\operatorname{Ker} g=\{0\}\).
17 La dérivation sur les polynômes ★★★
Soit \(D:\mathbb{R}_3[X]\to\mathbb{R}_3[X]\), \(D(P)=P'\). Montrer que \(D\) est linéaire, déterminer \(\operatorname{Ker} D\), \(\operatorname{Im} D\) et vérifier le théorème du rang.
18 Formule de Grassmann ★★★
Dans \(\mathbb{R}^4\), soit \(F=\{x=y\}\) et \(G=\{z=t\}\). Calculer \(\dim F\), \(\dim G\), \(\dim(F\cap G)\), puis \(\dim(F+G)\). La somme est-elle directe ?
19 Hyperplan et droite supplémentaires ★★★
Dans \(\mathbb{R}^4\), soit \(H=\{(x,y,z,t)\mid x+y+z+t=0\}\) et \(D=\operatorname{Vect}((1,1,1,1))\). Montrer que \(\mathbb{R}^4=H\oplus D\) et décomposer \(u=(4,0,0,0)\).
20 Un endomorphisme nilpotent ★★★
Soit \(f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3\), \(f(x,y,z)=(y,z,0)\). Calculer \(f^2\) et \(f^3\), puis \(\operatorname{Ker} f\), \(\operatorname{Ker} f^2\). Montrer que \(\operatorname{id}-f\) est bijective et donner son inverse.
21 Une symétrie ★★★
Avec le projecteur \(p(x,y)=(x-y,0)\), on pose \(s=2p-\operatorname{id}\). Expliciter \(s\), montrer que \(s\circ s=\operatorname{id}\), puis déterminer \(\operatorname{Ker}(s-\operatorname{id})\) et \(\operatorname{Ker}(s+\operatorname{id})\).
22 Base adaptée et projection ★★★
Dans \(\mathbb{R}^3\), soit \(F=\{x+y+z=0\}\) et \(D=\operatorname{Vect}((1,1,1))\). Montrer que \(((1,-1,0),(0,1,-1),(1,1,1))\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) adaptée à \(F\oplus D\), puis exprimer la projection \(p\) sur \(D\) parallèlement à \(F\).
23 Image d’une famille libre ★★★
Soit \(f\in\mathcal{L}(E,F)\) injective et \((u_1,\dots,u_p)\) une famille libre de \(E\). Démontrer que \((f(u_1),\dots,f(u_p))\) est libre dans \(F\). Le résultat subsiste-t-il si \(f\) n’est pas injective ?
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