Espaces vectoriels et applications linéaires : corrigé du contrôle de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Un sous-espace de R3 / 3 pts

\((0,0,0)\in F\) (0,5 pt). Pour \(u=(x,y,z)\), \(u'=(x',y',z')\in F\) et \(\lambda,\mu\in\mathbb{R}\) : \(2(\lambda x+\mu x')-(\lambda y+\mu y')+(\lambda z+\mu z')=\lambda\cdot0+\mu\cdot0=0\), donc \(\lambda u+\mu u'\in F\) (1,5 pt).

Base : \(z=y-2x\), donc \((x,y,z)=x(1,0,-2)+y(0,1,1)\). Cette famille engendre \(F\) et est libre (coordonnées \(x\) et \(y\) indépendantes) : c’est une base, \(\dim F=2\) (1 pt).

2 Famille libre ou liée / 3 pts

On remarque \(2u_1-u_2=(2-2,\,2+1,\,4-0)=(0,3,4)=u_3\) (1 pt). La famille est donc liée (0,5 pt).

\((u_1,u_2)\) est libre : \(au_1+bu_2=0\) donne \(a+2b=0\), \(a-b=0\), d’où \(a=b=0\) (1 pt). Comme \(u_3\in\operatorname{Vect}(u_1,u_2)\), \(\operatorname{Vect}(u_1,u_2,u_3)=\operatorname{Vect}(u_1,u_2)\), de dimension \(2\) (0,5 pt).

3 Noyau, image, rang / 4 pts

1. Si \(f(x,y,z)=0\) : \(x+y+z=0\) et \(2x+y-z=0\) ; en additionnant, \(3x+2y=0\), ce qui rend la troisième équation redondante. Avec \(x=2\lambda\) : \(y=-3\lambda\), \(z=\lambda\). Donc \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((2,-3,1))\) (1,5 pt).
2. Théorème du rang : \(\operatorname{rg} f=3-1=2\) (0,5 pt). La troisième composante de \(f(x,y,z)\) est la somme des deux premières, donc \(\operatorname{Im} f\subset\{(a,b,c)\mid c=a+b\}\), plan de dimension \(2\) : égalité (1 pt).
3. \(\operatorname{Ker} f\neq\{0\}\) : \(f\) n’est pas injective ; \(\operatorname{rg} f=2<3\) : \(f\) n’est pas surjective (1 pt).

4 Un projecteur de R3 / 4 pts

1. \(p\) est linéaire. \(p(p(x,y,z))=p(x,y,x+y)=(x,y,x+y)=p(x,y,z)\), donc \(p\circ p=p\) (1 pt).
2. \(\operatorname{Im} p=\{(a,b,a+b)\}=\operatorname{Vect}((1,0,1),(0,1,1))\), plan d’équation \(z=x+y\) (1,5 pt). \(p(x,y,z)=0\Leftrightarrow x=y=0\), donc \(\operatorname{Ker} p=\operatorname{Vect}((0,0,1))\) (1 pt).
3. \(\mathbb{R}^3=\operatorname{Ker} p\oplus\operatorname{Im} p\) (droite et plan supplémentaires, \(1+2=3\)) (0,5 pt).

5 Polynômes à deux racines / 3 pts

\(F\) est l’intersection des noyaux des formes linéaires \(P\mapsto P(0)\) et \(P\mapsto P(1)\) : c’est un sev (1 pt).

Pour \(P=aX^3+bX^2+cX+d\) : \(P(0)=d=0\) et \(P(1)=a+b+c=0\), soit \(c=-a-b\). Donc \(P=a(X^3-X)+b(X^2-X)\) (1 pt).

La famille \((X^3-X,\,X^2-X)\) est libre (degrés différents) et génératrice de \(F\) : c’est une base, \(\dim F=2\) (1 pt).

6 Questions rapides / 3 pts

1. Vrai : on a \(\dim\operatorname{Ker}=4-3=1\) ; par exemple \((x,y,z,t)\mapsto(x,y,z)\) est surjective de noyau \(\operatorname{Vect}((0,0,0,1))\) (1 pt).
2. Faux : si \(f\) est injective, \(\operatorname{rg} f=3\), mais \(\operatorname{rg} f\leqslant\dim\mathbb{R}^2=2\) (1 pt).
3. Faux : une famille de quatre vecteurs est liée mais pas forcément génératrice, par exemple quatre multiples de \((1,0,0)\) n’engendrent qu’une droite (1 pt).