Espaces vectoriels et applications linéaires : exercices corrigés de maths Maths Sup à télécharger en PDF

1 Sous-espace ou non ? ★★★

\(A\) : \((0,0)\in A\) et l’équation \(x-2y=0\) est linéaire, donc stable par combinaisons : \(A\) est un sev (la droite \(\operatorname{Vect}((2,1))\)).

\(B\) : \((0,0)\) ne vérifie pas \(0+0=1\), donc \(B\) n’est pas un sev.

\(C\) : \((1,0)\) et \((0,1)\) sont dans \(C\) mais leur somme \((1,1)\) vérifie \(xy=1\neq 0\) : \(C\) n’est pas un sev.

2 Appartenance à un Vect ★★★

On cherche \(a,b\) avec \(a+3b=7\) et \(2a+b=4\). De la seconde, \(b=4-2a\) ; alors \(a+12-6a=7\), donc \(a=1\) et \(b=2\).

Vérification : \(1\cdot(1,2)+2\cdot(3,1)=(7,4)\). Oui, \((7,4)\in\operatorname{Vect}(u,v)\).

3 Linéaire ou non ? ★★★

\(f\) : chaque composante est une combinaison linéaire de \(x\) et \(y\), donc \(f\) est linéaire.

\(g\) : \(g(0,0)=(1,0)\neq(0,0)\), donc \(g\) n’est pas linéaire.

\(h\) : \(h(2,2)=(4,2)\) alors que \(2h(1,1)=(2,2)\), donc \(h\) n’est pas linéaire.

4 Libre ou liée dans le plan ★★★

\(((1,2),(2,4))\) : \((2,4)=2(1,2)\), la famille est liée.

\(((1,2),(2,1))\) : \(a(1,2)+b(2,1)=0\) donne \(a+2b=0\) et \(2a+b=0\), d’où \(3b=0\) puis \(a=b=0\) : famille libre.

La troisième famille a 3 vecteurs dans un espace de dimension 2 : elle est liée.

5 Calculer des dimensions ★★★

\(\dim\mathbb{R}^5=5\) ; \(\dim\mathbb{R}_3[X]=4\) (base \(1,X,X^2,X^3\)) ; \(\dim\mathcal{M}_{2,3}(\mathbb{R})=2\times3=6\).

\(\operatorname{Vect}((1,0),(2,0))=\operatorname{Vect}((1,0))\) car \((2,0)=2(1,0)\) : dimension \(1\).

\(\{z=0\}=\operatorname{Vect}((1,0,0),(0,1,0))\) : dimension \(2\).

6 Coordonnées dans une base ★★★

On cherche \(a,b,c\) avec \(a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1)=(a+b+c,\,b+c,\,c)=(3,-1,2)\).

Donc \(c=2\), puis \(b=-1-2=-3\), puis \(a=3-b-c=4\). Coordonnées : \((4,-3,2)\).

7 Noyau et image d’un exemple simple ★★★

\(f(x,y)=0\Leftrightarrow x=y\), donc \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((1,1))\), de dimension \(1\).

\(f(x,y)=(x-y)(1,2)\), donc \(\operatorname{Im} f=\operatorname{Vect}((1,2))\), de dimension \(1\).

Théorème du rang : \(2=1+1\). Vérifié.

8 Un plan défini par deux équations ★★★

\(F\) est l’intersection de deux sev définis par des équations linéaires homogènes : c’est un sev.

Les équations donnent \(y=x\) puis \(z=-2x\) : \(F=\{x(1,1,-2)\mid x\in\mathbb{R}\}=\operatorname{Vect}((1,1,-2))\). Le vecteur est non nul, donc \(((1,1,-2))\) est une base et \(\dim F=1\).

9 Base d’un sev de R4 ★★★

Un vecteur de \(G\) s’écrit \((x,-x,z,z)=x(1,-1,0,0)+z(0,0,1,1)\), donc la famille \(((1,-1,0,0),(0,0,1,1))\) engendre \(G\).

Elle est libre : \(a(1,-1,0,0)+b(0,0,1,1)=0\) donne \(a=0\) et \(b=0\). C’est une base, et \(\dim G=2\).

10 Une base de R3 ★★★

On résout \(a(1,0,1)+b(1,1,0)+c(0,1,1)=0\) : \(a+b=0\), \(b+c=0\), \(a+c=0\). Alors \(a=-b\), \(c=-b\) et \(a+c=-2b=0\), donc \(a=b=c=0\) : la famille est libre.

Elle compte 3 vecteurs dans un espace de dimension 3 : c’est une base.

11 Polynômes s’annulant en 1 ★★★

L’application \(P\mapsto P(1)\) est linéaire, et \(F\) est son noyau : c’est un sev.

Pour \(P=aX^2+bX+c\), \(P(1)=0\Leftrightarrow c=-a-b\), donc \(P=a(X^2-1)+b(X-1)\). La famille \((X^2-1,\,X-1)\) engendre \(F\) ; elle est libre (degrés distincts et non nuls). C’est une base, \(\dim F=2\).

12 Noyau et image en dimension 3 ★★★

\(f(x,y,z)=0\) donne \(x=-y\), \(z=-y\), et la troisième équation \(x-z=0\) est alors vérifiée. Donc \(\operatorname{Ker} f=\operatorname{Vect}((1,-1,1))\).

Par le théorème du rang, \(\operatorname{rg} f=3-1=2\). On a \(f(e_1)=(1,0,1)\) et \(f(e_2)=(1,1,0)\), non colinéaires, donc \(\operatorname{Im} f=\operatorname{Vect}((1,0,1),(1,1,0))=\{(a,b,c)\mid a=b+c\}\).

13 Injective mais pas surjective ★★★

Si \(f(x,y)=0\), alors \(x+y=0\) et \(x-y=0\), d’où \(x=y=0\) : \(\operatorname{Ker} f=\{0\}\), donc \(f\) est injective.

Théorème du rang : \(\operatorname{rg} f=2-0=2<3=\dim\mathbb{R}^3\), donc \(\operatorname{Im} f\neq\mathbb{R}^3\) : \(f\) n’est pas surjective.

14 Un projecteur du plan ★★★

\(p\) est linéaire. De plus \(p(p(x,y))=p(x-y,0)=(x-y,0)=p(x,y)\), donc \(p\circ p=p\).

\(\operatorname{Ker} p=\{x=y\}=\operatorname{Vect}((1,1))\) ; \(\operatorname{Im} p=\{(a,0)\}=\operatorname{Vect}((1,0))\). On a bien \(\mathbb{R}^2=\operatorname{Vect}((1,1))\oplus\operatorname{Vect}((1,0))\).

15 Une somme directe dans R3 ★★★

Si \((1,0,1)\in F\), il existerait \(a,b\) avec \((a,a+b,b)=(1,0,1)\), d’où \(a=b=1\) et \(a+b=2\neq0\) : impossible. Donc \(F\cap G=\{0\}\) (\(G\) est une droite).

\(\dim F+\dim G=2+1=3=\dim\mathbb{R}^3\), donc \(\mathbb{R}^3=F\oplus G\).

Décomposition : on résout \(a(1,1,0)+b(0,1,1)+c(1,0,1)=(1,2,3)\), soit \(a+c=1\), \(a+b=2\), \(b+c=3\), d’où \(a=0\), \(b=2\), \(c=1\). Ainsi \((1,2,3)=(0,2,2)+(1,0,1)\) avec \((0,2,2)\in F\) et \((1,0,1)\in G\).

16 Le théorème du rang en action ★★★

\(\dim\operatorname{Ker} f=4-2=2\). Comme \(\operatorname{Ker} f\neq\{0\}\), \(f\) n’est pas injective ; comme \(2<3\), elle n’est pas surjective.

Pour \(g\) : \(\operatorname{rg} g=3-0=3=\dim\mathbb{R}^3\), donc \(g\) est surjective, et injective par hypothèse : \(g\) est un isomorphisme.

17 La dérivation sur les polynômes ★★★

La dérivation est linéaire : \((\lambda P+\mu Q)'=\lambda P'+\mu Q'\).

\(P'=0\) si et seulement si \(P\) est constant : \(\operatorname{Ker} D=\mathbb{R}_0[X]\), de dimension \(1\).

La dérivée d’un polynôme de degré \(\leqslant3\) est de degré \(\leqslant2\), et tout polynôme de degré \(\leqslant2\) est la dérivée d’une primitive polynomiale : \(\operatorname{Im} D=\mathbb{R}_2[X]\), de dimension \(3\).

Théorème du rang : \(\dim\mathbb{R}_3[X]=4=1+3\).

18 Formule de Grassmann ★★★

\(F\) et \(G\) sont définis par une seule équation indépendante : \(\dim F=\dim G=3\).

\(F\cap G=\{x=y,\ z=t\}=\operatorname{Vect}((1,1,0,0),(0,0,1,1))\), de dimension \(2\).

Grassmann : \(\dim(F+G)=3+3-2=4\), donc \(F+G=\mathbb{R}^4\). Comme \(F\cap G\neq\{0\}\), la somme n’est pas directe.

19 Hyperplan et droite supplémentaires ★★★

\(\dim H=3\) (une équation) et \(\dim D=1\). Si \(\lambda(1,1,1,1)\in H\), alors \(4\lambda=0\), donc \(\lambda=0\) : \(H\cap D=\{0\}\). Avec \(3+1=4\), on a \(\mathbb{R}^4=H\oplus D\).

On écrit \(u=\lambda(1,1,1,1)+h\) avec \(h\in H\) : en sommant les coordonnées, \(4=4\lambda\), donc \(\lambda=1\) et \(h=(3,-1,-1,-1)\), dont la somme des coordonnées est bien nulle.

20 Un endomorphisme nilpotent ★★★

\(f^2(x,y,z)=f(y,z,0)=(z,0,0)\) et \(f^3(x,y,z)=f(z,0,0)=(0,0,0)\) : \(f^3=0\).

\(\operatorname{Ker} f=\{y=z=0\}=\operatorname{Vect}((1,0,0))\) ; \(\operatorname{Ker} f^2=\{z=0\}=\operatorname{Vect}((1,0,0),(0,1,0))\).

Comme \((\operatorname{id}-f)\circ(\operatorname{id}+f+f^2)=\operatorname{id}-f^3=\operatorname{id}\) et que ces applications commutent, \(\operatorname{id}-f\) est bijective d’inverse \(\operatorname{id}+f+f^2\).

21 Une symétrie ★★★

\(s(x,y)=2(x-y,0)-(x,y)=(x-2y,\,-y)\). Alors \(s(s(x,y))=s(x-2y,-y)=\big((x-2y)+2y,\,y\big)=(x,y)\) : \(s\circ s=\operatorname{id}\).

\(s(x,y)=(x,y)\Leftrightarrow y=0\) : \(\operatorname{Ker}(s-\operatorname{id})=\operatorname{Vect}((1,0))=\operatorname{Im} p\). \(s(x,y)=-(x,y)\Leftrightarrow x-2y=-x\Leftrightarrow x=y\) : \(\operatorname{Ker}(s+\operatorname{id})=\operatorname{Vect}((1,1))=\operatorname{Ker} p\).

22 Base adaptée et projection ★★★

Les vecteurs \((1,-1,0)\) et \((0,1,-1)\) sont dans \(F\) et non colinéaires : ils forment une base de \(F\) (\(\dim F=2\)). Le vecteur \((1,1,1)\notin F\) (somme \(3\neq0\)), donc \(F\cap D=\{0\}\) et la famille de trois vecteurs est libre, donc une base de \(\mathbb{R}^3\).

Pour \(u=(x,y,z)\), on écrit \(u=\lambda(1,1,1)+h\), \(h\in F\) : en sommant les coordonnées, \(x+y+z=3\lambda\). Donc \(p(x,y,z)=\dfrac{x+y+z}{3}(1,1,1)\).

23 Image d’une famille libre ★★★

Supposons \(\sum\lambda_if(u_i)=0\). Par linéarité, \(f\big(\sum\lambda_iu_i\big)=0\), donc \(\sum\lambda_iu_i\in\operatorname{Ker} f=\{0\}\). Comme \((u_i)\) est libre, tous les \(\lambda_i\) sont nuls : la famille image est libre.

Sans injectivité, c’est faux : pour \(f(x,y)=(x,0)\), la famille libre \(((1,0),(0,1))\) a pour image \(((1,0),(0,0))\), qui est liée.