Courbes, surfaces et géométrie euclidienne : contrôle de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Arc paramétré : parabole / 4 pts

Soit l’arc \(\gamma(t) = (2t,\ t^2)\), \(t \in \mathbb R\). La calculatrice n’est pas autorisée.

1. Déterminer la tangente au point de paramètre \(t = 1\).
2. Calculer la longueur de l’arc pour \(t \in [0, 1]\). On admet que \(\dfrac{d}{dt}\big[t\sqrt{1 + t^2} + \ln(t + \sqrt{1 + t^2})\big] = 2\sqrt{1 + t^2}\).
3. Calculer la courbure en \(t = 0\) et en déduire le rayon du cercle osculateur.

2 Une ellipse / 4 pts

Soit \(\mathcal E : 16x^2 + 25y^2 = 400\).

1. Donner ses demi-axes, ses foyers et son excentricité.
2. Vérifier que \(M\big(3, \tfrac{16}{5}\big)\) est sur \(\mathcal E\) et calculer \(MF + MF’\).
3. Déterminer la tangente en \(M\).

3 Une quadrique / 4 pts

Soit la surface \(\mathcal S : 9x^2 + 4y^2 - 36z^2 = 36\).

1. Mettre l’équation sous forme réduite et nommer \(\mathcal S\).
2. Montrer que \(A(2, 3, 1)\) appartient à \(\mathcal S\) et déterminer le plan tangent en \(A\).
3. Calculer la distance de l’origine à ce plan.

4 Réduction d’une conique / 3 pts

On considère la courbe \(\mathcal C : 3x^2 + 2xy + 3y^2 = 8\).

1. Diagonaliser la matrice de la forme quadratique dans une base orthonormée.
2. En déduire la nature de \(\mathcal C\), ses demi-axes et leurs directions.

5 Une isométrie du plan / 3 pts

Soit \(f(x,y) = (-y + 3,\ x + 1)\).

1. Montrer que \(f\) est une isométrie affine et préciser son type.
2. Déterminer ses éléments caractéristiques.
3. Calculer l’image de \(A(3,2)\) et vérifier la conservation de la distance au point fixe.

6 Orthogonalité dans l’espace / 2 pts

Soit le plan \(\mathcal P : x - 2y + 2z = 3\) et le point \(P(2, 1, -1)\). Calculer la distance de \(P\) à \(\mathcal P\), puis le projeté orthogonal de \(P\) sur \(\mathcal P\).