Réduction des endomorphismes : corrigé du contrôle de maths Maths Spé

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Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.

Durée conseillée : 45 minutes. Barème sur 20 points. Calculatrice autorisée seulement quand l’énoncé le précise.

Sommaire

\(\mathrm{tr}(A) = 4\). Les lignes 1 et 2 sont égales : \(\det(A) = 0\). Les mineurs principaux d’ordre 2 valent \(0\), \(0\) et \(9 - 6 = 3\), de somme \(3\). Donc \(\chi_A(X) = X^3 - 4X^2 + 3X = X(X-1)(X-3)\) (2 pts).
\(E_0\) : \(-2x + 3y + 2z = 0\) et \(-3x + 3y + 3z = 0\) donnent \(x = z\) et \(y = 0\) : \(E_0 = \mathrm{Vect}((1,0,1))\). \(E_1\) : \(x = y\) et \(z = 0\) : \(E_1 = \mathrm{Vect}((1,1,0))\). \(E_3\) : \(x = y = z\) : \(E_3 = \mathrm{Vect}((1,1,1))\) (2 pts).
Trois valeurs propres distinctes : \(A\) est diagonalisable avec \(P = \begin{pmatrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1\end{pmatrix}\) et \(D = \mathrm{diag}(0, 1, 3)\) (1 pt).

\(\mathrm{tr}(B) = 6\), \(\det(B) = 5 + 4 = 9\), donc \(\chi_B = X^2 - 6X + 9 = (X-3)^2\). \(B - 3I = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ -1 & -2\end{pmatrix}\) : \(x + 2y = 0\), donc \(E_3 = \mathrm{Vect}((2,-1))\) (1 pt).
\(\dim E_3 = 1 < 2 = m_3\) : \(B\) n’est pas diagonalisable (1 pt).
Avec \(e_1 = (2,-1)\) et \(e_2 = (1,0)\) : \(B e_2 = (5,-1) = e_1 + 3e_2\). La matrice est \(T = \begin{pmatrix}3 & 1 \\ 0 & 3\end{pmatrix}\) (1 pt).
\(N = \begin{pmatrix}2 & 4 \\ -1 & -2\end{pmatrix}\) et \(N^2 = 0\). Donc \(B^n = (3I + N)^n = 3^n I + n 3^{n-1} N\) (1 pt).

\(X^3 - X = X(X-1)(X+1)\) annule \(A\) : \(\mathrm{Sp}(A) \subset \{-1, 0, 1\}\) (1 pt).
Annulateur scindé à racines simples : \(A\) est diagonalisable (1 pt).
\(A^3 = A\) entraîne \(A^{2k+1} = A\) pour tout \(k \geq 0\) et \(A^{2k} = A^2\) pour tout \(k \geq 1\) (1 pt).
\(A^2 = I_3\) (le bloc \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}\) est de carré \(I_2\)), donc \(A^3 = A\). \(\chi_A(X) = (X-1)\bigl(X^2 - 1\bigr) = (X-1)^2 (X+1)\). \(A - I = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\) est de rang \(1\), donc \(\dim E_1 = 2 = m_1\) (1 pt).

Vrai : \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{C}\) (théorème de d’Alembert-Gauss), donc \(A\) est trigonalisable (1 pt).
Vrai : \(X^2\) annule \(A\), donc \(0\) est la seule valeur propre ; une matrice diagonalisable de spectre \(\{0\}\) est nulle, ce qui est exclu (1 pt).
Faux : \(0\) et \(\begin{pmatrix}0 & 1 \\ 0 & 0\end{pmatrix}\) ont toutes deux pour polynôme caractéristique \(X^2\), mais la matrice nulle n’est semblable qu’à elle-même (1 pt).

\(N^2 = \mathrm{diag}(1, -4, -4)\) par blocs, donc \(N^2 + 4I = \mathrm{diag}(5, 0, 0)\). Or \(N - I = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & -4 \\ 0 & 1 & -1\end{pmatrix}\) a sa première colonne nulle, donc \((N - I)(N^2 + 4I) = 0\) (1 pt).
\(X^2 + 4 = (X-1)(X+1) + 5\), d’où \(1 = \tfrac{1}{5}\bigl[(X^2+4) - (X-1)(X+1)\bigr]\) : les deux polynômes sont premiers entre eux (1 pt).
Par le lemme des noyaux, \(\mathbb{R}^3 = \ker(N - I) \oplus \ker(N^2 + 4I)\) : la droite \(\mathrm{Vect}((1,0,0))\) et le plan \(\{x = 0\}\) (1 pt).
Non : sur le plan \(\{x = 0\}\), \(N\) agit comme une matrice de carré \(-4I_2\), sans valeur propre réelle ; le polynôme minimal \((X-1)(X^2+4)\) n’est pas scindé sur \(\mathbb{R}\) (1 pt).

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