Corrigé du contrôle avec le barème détaillé. Compte tes points et repère ce qu’il faut revoir.
1 Un produit scalaire par évaluation / 4 pts
a) Bilinéarité et symétrie évidentes. \(\langle P,P\rangle=P(0)^2+P(1)^2+P(2)^2\geq0\) (0,5 pt). Si \(\langle P,P\rangle=0\), alors \(P(0)=P(1)=P(2)=0\) : un polynôme de degré \(\leq2\) ayant 3 racines est nul, donc \(P=0\) (1 pt).
b) \(\langle1,X\rangle=0+1+2=3\), \(\|1\|^2=3\), \(\|X\|^2=0+1+4=5\) (1 pt).
c) \(e_1=\tfrac1{\sqrt3}\) (0,5 pt). \(w_2=X-\tfrac33\cdot1=X-1\) de norme au carré \((-1)^2+0+1^2=2\) (0,5 pt), donc \(e_2=\tfrac1{\sqrt2}(X-1)\) (0,5 pt).
2 Gram-Schmidt dans \(\mathbb{R}^3\) / 4 pts
\(\|v_1\|^2=3\), \(e_1=\tfrac1{\sqrt3}(1,-1,1)\) (1 pt).
\(\langle v_2,v_1\rangle=3\), donc \(w_2=v_2-\tfrac33v_1=(1,1,0)\), \(e_2=\tfrac1{\sqrt2}(1,1,0)\) (1,5 pt).
\(\langle v_3,v_1\rangle=3\) et \(\langle v_3,w_2\rangle=2\) avec \(\|w_2\|^2=2\) : \(w_3=v_3-v_1-w_2=(-1,1,2)\), \(e_3=\tfrac1{\sqrt6}(-1,1,2)\) (1,5 pt). Contrôle : \(w_3\perp v_1\) et \(w_3\perp w_2\).
3 Projection sur un plan / 4 pts
Vecteur normal \(n=(1,2,-2)\), \(\|n\|=3\). a) \(\langle n,M\rangle=5+4+2=11\), donc \(d(M,P)=\tfrac{11}3\) (1 pt).
b) \(H=M-\tfrac{11}{9}n=(\tfrac{34}9,-\tfrac49,\tfrac{13}9)\) (1,5 pt). Vérification : \(\tfrac{34}9-\tfrac89-\tfrac{26}9=0\) (0,5 pt).
c) \(M'=M-\tfrac{22}9n=(\tfrac{23}9,-\tfrac{26}9,\tfrac{35}9)\) (1 pt).
4 Une isométrie de l’espace / 4 pts
a) Les lignes de \(7A\) ont pour carrés des normes \(4+9+36=49\), \(36+4+9=49\), \(9+36+4=49\), et pour produits \(12+6-18=0\), \(6-18+12=0\), \(18-12-6=0\) : \(A\) est orthogonale (1,5 pt).
b) \(\det(7A)=2(4-18)-3(12+9)+6(-36-6)=-28-63-252=-343\), donc \(\det A=\tfrac{-343}{343}=-1\) (1 pt).
c) \(-A\) est orthogonale de déterminant \((-1)^3(-1)=1\) : c’est une rotation (0,5 pt). \(\operatorname{tr}(-A)=-\tfrac67=1+2\cos\theta\), donc \(\cos\theta=-\tfrac{13}{14}\) (1 pt).
5 Diagonalisation et forme quadratique / 4 pts
a) \(\operatorname{tr}A=7\) et \(\det A=6\) : \(\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda-6)\), valeurs propres \(1\) et \(6\) (1 pt).
b) Pour \(6\) : \((-1)x+2y=0\), vecteur \((2,1)\). Pour \(1\) : \(4x+2y=0\), vecteur \((1,-2)\) (1 pt). Base orthonormée \(\tfrac1{\sqrt5}(2,1)\), \(\tfrac1{\sqrt5}(1,-2)\) ; \(P=\tfrac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}2&1\\1&-2\end{pmatrix}\), \(D=\operatorname{diag}(6,1)\) (1 pt).
c) \(q=6y_1^2+y_2^2\) avec \(y_1^2+y_2^2=1\) : maximum \(6\) en \(\pm\tfrac1{\sqrt5}(2,1)\), minimum \(1\) en \(\pm\tfrac1{\sqrt5}(1,-2)\) (1 pt).
Entraîne-toi : défi express de Maths Spé
🚀 Zyro te conseille la suite
📝 Contrôles de mathsEspaces euclidiens : contrôle de maths Maths Spé
📘 Cours de mathsEspaces euclidiens : cours de maths Maths Spé
🎯 QCM de mathsEspaces euclidiens : QCM de maths Maths Spé
📝 Contrôles de mathsSéries numériques : contrôle de maths Maths Spé
📝 Contrôles de mathsSuites et séries de fonctions : contrôle de maths Maths Spé
📘 Cours de mathsSéries numériques : cours de maths Maths Spé