Une courbe ou une surface se décrit par une équation, par un graphe ou par un paramétrage. Ce chapitre réunit les outils de la deuxième année pour les étudier : tangente, longueur, courbure, coniques, quadriques, plans tangents, puis les transformations qui conservent les distances.
1. Arcs paramétrés
Arc paramétré Un arc paramétré de classe \(\mathcal C^k\) est une application \(\gamma : I \to \mathbb R^2\) (ou \(\mathbb R^3\)), \(t \mapsto (x(t), y(t))\), de classe \(\mathcal C^k\) sur un intervalle \(I\). Le point \(\gamma(t_0)\) est régulier si \(\gamma'(t_0) \neq 0\), stationnaire sinon.
Tangente En un point régulier, la courbe admet une tangente dirigée par \(\gamma'(t_0)\), d’équation \(x'(t_0)\,(y - y(t_0)) - y'(t_0)\,(x - x(t_0)) = 0\). En un point stationnaire, si \(\gamma^{(p)}(t_0)\) est le premier vecteur dérivé non nul, la tangente est dirigée par \(\gamma^{(p)}(t_0)\).
Exemple 1 Soit \(\gamma(t) = (t^2, t^3)\). Pour \(t = 1\) : \(\gamma(1) = (1,1)\) et \(\gamma'(1) = (2,3)\), donc la tangente est \(3(x-1) - 2(y-1) = 0\), soit \(3x - 2y - 1 = 0\). Pour \(t = 0\) : \(\gamma'(0) = (0,0)\), \(\gamma''(0) = (2,0)\), \(\gamma^{(3)}(0) = (0,6)\) non colinéaire à \(\gamma''(0)\). La tangente en l’origine est l’axe \((Ox)\) et le point est un rebroussement de première espèce.
L’astroïde ci-dessus admet quatre points stationnaires (les sommets sur les axes). La tangente en \(M(t)\) a pour équation \(x \sin t + y \cos t = \sin t \cos t\) : elle coupe les axes en \((\cos t, 0)\) et \((0, \sin t)\), donc le segment découpé a toujours pour longueur 1.
2. Longueur d’un arc
Longueur Pour \(\gamma\) de classe \(\mathcal C^1\) sur \([a,b]\), la longueur de l’arc est
\[ L = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt . \]
Elle ne dépend pas du paramétrage (changement de variable \(\mathcal C^1\) strictement monotone). L’abscisse curviligne d’origine \(t_0\) est \(s(t) = \int_{t_0}^{t} \|\gamma'(u)\|\,du\). Pour un graphe \(y = f(x)\), \(L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx\).
\[ L = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\,dt = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2 + y'(t)^2}\,dt . \]
Elle ne dépend pas du paramétrage (changement de variable \(\mathcal C^1\) strictement monotone). L’abscisse curviligne d’origine \(t_0\) est \(s(t) = \int_{t_0}^{t} \|\gamma'(u)\|\,du\). Pour un graphe \(y = f(x)\), \(L = \int_a^b \sqrt{1 + f'(x)^2}\,dx\).
Exemple 2 Pour \(\gamma(t) = (t^2, t^3)\) sur \([0,1]\), \(\|\gamma'(t)\| = \sqrt{4t^2 + 9t^4} = t\sqrt{4 + 9t^2}\) pour \(t \geq 0\). Donc
\[ L = \int_0^1 t\sqrt{4 + 9t^2}\,dt = \Big[\tfrac{1}{27}(4 + 9t^2)^{3/2}\Big]_0^1 = \dfrac{13\sqrt{13} - 8}{27} \approx 1{,}44 . \]
\[ L = \int_0^1 t\sqrt{4 + 9t^2}\,dt = \Big[\tfrac{1}{27}(4 + 9t^2)^{3/2}\Big]_0^1 = \dfrac{13\sqrt{13} - 8}{27} \approx 1{,}44 . \]
Attention La longueur se calcule avec la norme \(\|\gamma'\|\), jamais avec \(|x'| + |y'|\). La distance entre les extrémités est seulement un minorant de \(L\).
3. Courbure
Courbure Pour un arc birégulier plan, la courbure algébrique est
\[ \kappa(t) = \dfrac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} , \qquad \text{et pour un graphe : } \kappa = \dfrac{f''}{(1 + f'^2)^{3/2}} . \]
Le rayon de courbure est \(R = 1/|\kappa|\). Le cercle osculateur est le cercle de rayon \(R\) centré sur la normale, du côté de la concavité : c’est le cercle qui épouse le mieux la courbe au point considéré.
\[ \kappa(t) = \dfrac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} , \qquad \text{et pour un graphe : } \kappa = \dfrac{f''}{(1 + f'^2)^{3/2}} . \]
Le rayon de courbure est \(R = 1/|\kappa|\). Le cercle osculateur est le cercle de rayon \(R\) centré sur la normale, du côté de la concavité : c’est le cercle qui épouse le mieux la courbe au point considéré.
Exemple 3 Pour le cercle \(x = r\cos t,\ y = r\sin t\) : \(x'y'' - y'x'' = r^2\) et \((x'^2 + y'^2)^{3/2} = r^3\), donc \(\kappa = 1/r\). Pour la parabole \(y = x^2\), \(\kappa(x) = \dfrac{2}{(1 + 4x^2)^{3/2}}\) ; au sommet \(\kappa = 2\), \(R = \tfrac12\) et le cercle osculateur a pour centre \((0, \tfrac12)\).
4. Coniques
Conique Étant donnés un foyer \(F\), une droite directrice \(D\) et \(e > 0\), la conique est l’ensemble des points \(M\) tels que \(MF = e \cdot d(M, D)\). Elle est une ellipse si \(e < 1\), une parabole si \(e = 1\), une hyperbole si \(e > 1\).
| Conique | Équation réduite | Foyers, excentricité | Propriété |
|---|---|---|---|
| Ellipse | \(\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1\), \(a > b > 0\) | \(c^2 = a^2 - b^2\), \(F(\pm c, 0)\), \(e = c/a\) | \(MF + MF’ = 2a\) |
| Hyperbole | \(\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1\) | \(c^2 = a^2 + b^2\), \(F(\pm c, 0)\), \(e = c/a\) | \(|MF - MF’| = 2a\), asymptotes \(y = \pm \tfrac{b}{a}x\) |
| Parabole | \(y^2 = 2px\) | \(F(\tfrac p2, 0)\), directrice \(x = -\tfrac p2\), \(e = 1\) | \(MF = d(M, D)\) |
Tangentes La tangente au point \((x_0, y_0)\) de la conique a pour équation \(\dfrac{xx_0}{a^2} + \dfrac{yy_0}{b^2} = 1\) (ellipse), \(\dfrac{xx_0}{a^2} - \dfrac{yy_0}{b^2} = 1\) (hyperbole), \(yy_0 = p(x + x_0)\) (parabole). Pour une équation générale \(Ax^2 + Bxy + Cy^2 + \dots = 0\) non dégénérée, le signe de \(B^2 - 4AC\) donne la nature : négatif pour une ellipse, nul pour une parabole, positif pour une hyperbole.
Exemple 4 Pour \(4x^2 + 9y^2 = 36\), soit \(\dfrac{x^2}{9} + \dfrac{y^2}{4} = 1\) : \(a = 3\), \(b = 2\), \(c = \sqrt{9 - 4} = \sqrt5\), \(e = \dfrac{\sqrt5}{3}\) et les foyers sont \((\pm\sqrt5, 0)\).
5. Quadriques
Quadrique Une quadrique de \(\mathbb R^3\) est l’ensemble des points dont les coordonnées vérifient \(q(x,y,z) + \ell(x,y,z) + c = 0\), où \(q\) est une forme quadratique non nulle, \(\ell\) une forme linéaire et \(c\) un réel.
Réduire une quadrique
- Écrire la matrice symétrique \(S\) de \(q\).
- La diagonaliser dans une base orthonormée (théorème spectral) : \(q = \lambda_1 X^2 + \lambda_2 Y^2 + \lambda_3 Z^2\).
- Compléter les carrés pour absorber la partie linéaire.
- Lire les signes des coefficients et reconnaître la surface dans le tableau.
| Équation réduite | Nom |
|---|---|
| \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1\) | ellipsoïde |
| \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = 1\) | hyperboloïde à une nappe |
| \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} - \frac{z^2}{c^2} = -1\) | hyperboloïde à deux nappes |
| \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = \frac{z^2}{c^2}\) | cône |
| \(z = \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2}\) | paraboloïde elliptique |
| \(z = \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2}\) | paraboloïde hyperbolique |
| \(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1\) | cylindre elliptique |
Exemple 5 Soit \(2x^2 + 2y^2 - z^2 + 2xy = 3\). La matrice est \(S = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}\), de valeurs propres \(3\) (vecteur \((1,1,0)\)), \(1\) (vecteur \((1,-1,0)\)) et \(-1\) (vecteur \((0,0,1)\)). Avec \(u = \tfrac{x+y}{\sqrt2}\), \(v = \tfrac{x-y}{\sqrt2}\), \(w = z\) : \(3u^2 + v^2 - w^2 = 3\), soit \(u^2 + \dfrac{v^2}{3} - \dfrac{w^2}{3} = 1\). Deux signes positifs et un négatif : c’est un hyperboloïde à une nappe.
6. Surfaces et plan tangent
Une surface se donne par un graphe \(z = f(x,y)\), par une équation \(F(x,y,z) = 0\) ou par une nappe paramétrée \((u,v) \mapsto S(u,v)\).
Plan tangent
- Graphe de \(f\) de classe \(\mathcal C^1\) en \((a,b)\) : \(z = f(a,b) + \dfrac{\partial f}{\partial x}(a,b)(x-a) + \dfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)(y-b)\).
- Surface \(F = 0\) avec \(\nabla F(M_0) \neq 0\) : le plan tangent en \(M_0\) est le plan passant par \(M_0\) et de vecteur normal \(\nabla F(M_0)\).
- Nappe paramétrée : un vecteur normal est \(\dfrac{\partial S}{\partial u} \wedge \dfrac{\partial S}{\partial v}\), s’il est non nul.
Exemple 6 Pour \(z = x^2 + y^2\) en \((1,2)\) : \(f(1,2) = 5\), \(f_x = 2x = 2\), \(f_y = 2y = 4\), donc \(z = 5 + 2(x-1) + 4(y-2)\), soit \(z = 2x + 4y - 5\). Pour l’ellipsoïde \(x^2 + 2y^2 + 3z^2 = 6\) en \((1,1,1)\) : \(\nabla F = (2x, 4y, 6z) = (2,4,6)\), et le plan tangent est \(x + 2y + 3z = 6\).
7. Orthogonalité dans l’espace
Outils Deux vecteurs sont orthogonaux si \(u \cdot v = 0\). Le produit vectoriel \(u \wedge v\) est orthogonal à \(u\) et à \(v\), et \(\|u \wedge v\| = \|u\|\,\|v\|\,|\sin\theta|\). Pour un sous-espace \(F\) d’un espace euclidien \(E\) : \(E = F \oplus F^{\perp}\) et \(\dim F^{\perp} = \dim E - \dim F\).
- Distance d’un point \(M_0(x_0,y_0,z_0)\) au plan \(ax + by + cz + d = 0\) : \(\dfrac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}\).
- Distance de \(M\) à la droite passant par \(A\), de vecteur directeur \(u\) : \(\dfrac{\|\overrightarrow{AM} \wedge u\|}{\|u\|}\).
Exemple 7 Le point \(M(1,2,3)\) et le plan \(2x - y + 2z - 4 = 0\) : \(d = \dfrac{|2 - 2 + 6 - 4|}{\sqrt{4 + 1 + 4}} = \dfrac23\). Pour la droite passant par \(A(1,0,2)\) de vecteur \(u = (1,2,2)\) et le point \(M(3,1,1)\) : \(\overrightarrow{AM} = (2,1,-1)\), \(\overrightarrow{AM} \wedge u = (4,-5,3)\) de norme \(\sqrt{50}\), donc \(d = \dfrac{5\sqrt2}{3}\).
Astuce de Zyro Pour savoir si une surface est de révolution autour d’un axe, vérifiez que deux des valeurs propres de sa matrice sont égales : l’axe est alors la direction propre de la troisième.
8. Isométries affines
Isométrie affine Une application \(f\) de l’espace euclidien dans lui-même qui conserve les distances est affine, de la forme \(f(M) = U M + b\) avec \(U\) orthogonale (\(U^{T}U = I\)). On a \(\det U = \pm 1\) : \(f\) est un déplacement si \(\det U = 1\), un antidéplacement si \(\det U = -1\).
Classification dans le plan Un déplacement est une translation (\(U = I\)) ou une rotation, d’angle \(\theta\) tel que \(\cos\theta = \tfrac12 \operatorname{tr} U\). Un antidéplacement est une réflexion (s’il a des points fixes) ou une symétrie glissée (sinon). Dans l’espace, un déplacement de partie linéaire \(U \neq I\) est une rotation ou un vissage d’axe dirigé par \(\ker(U - I)\), avec \(\operatorname{tr} U = 1 + 2\cos\theta\).
Exemple 8 Soit \(f(x,y) = \Big(\dfrac{3x - 4y + 6}{5}, \dfrac{4x + 3y - 2}{5}\Big)\). La matrice \(U = \tfrac15\begin{pmatrix} 3 & -4 \\ 4 & 3 \end{pmatrix}\) est orthogonale de déterminant 1. Le point \((1,1)\) est fixe, donc \(f\) est la rotation de centre \((1,1)\) et d’angle \(\theta\) avec \(\cos\theta = \tfrac35\), \(\sin\theta = \tfrac45\), soit \(\theta \approx 53{,}1^\circ\).
À retenir
- Tangente en un point régulier : dirigée par \(\gamma'\) ; en un point stationnaire : par le premier dérivé non nul.
- Longueur : \(L = \int \|\gamma'\|\) ; courbure plane : \(\kappa = \dfrac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}}\), rayon \(R = 1/|\kappa|\).
- Ellipse : \(c^2 = a^2 - b^2\), \(MF + MF’ = 2a\) ; hyperbole : \(c^2 = a^2 + b^2\), \(|MF - MF’| = 2a\) ; parabole : \(MF = d(M, D)\).
- Une quadrique se réduit par diagonalisation orthogonale ; les signes des valeurs propres donnent sa nature.
- Plan tangent : gradient (surface implicite), dérivées partielles (graphe), produit vectoriel (nappe).
- Isométrie affine : partie linéaire orthogonale ; déterminant 1 pour un déplacement, \(-1\) pour un antidéplacement.
Entraîne-toi : défi express de Maths Spé
Automatismes Maths Spé : combien de réponses en 60 secondes ?
🚀 Zyro te conseille la suite
✏️ Exercices de mathsCourbes, surfaces et géométrie euclidienne : exercices de maths Maths Spé
📝 Contrôles de mathsCourbes, surfaces et géométrie euclidienne : contrôle de maths Maths Spé
🎯 QCM de mathsCourbes, surfaces et géométrie euclidienne : QCM de maths Maths Spé
✏️ Exercices de mathsRéduction des endomorphismes : exercices de maths Maths Spé
✏️ Exercices de mathsEspaces euclidiens : exercices de maths Maths Spé
📝 Contrôles de mathsRéduction des endomorphismes : contrôle de maths Maths Spé