Calcul différentiel : exercices corrigés de maths Maths Spé à télécharger en PDF

1 Dérivées partielles à calculer ★★★

On gèle \(y\) pour dériver en \(x\) : \(\partial_xf=6xy+2\). On gèle \(x\) pour dériver en \(y\) : \(\partial_yf=3x^2-15y^2\).

2 Exponentielle et évaluation ★★★

\(\partial_xg=e^y\) et \(\partial_yg=xe^y\). En \((2,0)\) : \(\partial_xg=e^0=1\) et \(\partial_yg=2\times1=2\).

3 Gradient en dimension 3 ★★★

\(\nabla h=(yz,\ xz,\ xy+2z)\). En \((1,2,3)\) : \((6,\ 3,\ 2+6)=(6,3,8)\).

4 Différentielle et approximation ★★★

1. \(\nabla f=(2x+3y,\ 3x)\), donc \(\nabla f(a)=(-1,3)\) et \(df_a(h_1,h_2)=-h_1+3h_2\).
2. \(f(a)=1-3=-2\) et \(h=(0{,}02;\,0{,}01)\), donc \(f(1{,}02;-0{,}99)\approx-2-0{,}02+0{,}03=-1{,}99\). (La valeur exacte est \(-1{,}989\).)

5 Vrai ou faux ? ★★★

1. Vrai : \(\partial_if(a)=df_a(e_i)\).
2. Faux : \(f(x,y)=\dfrac{xy}{x^2+y^2}\), \(f(0,0)=0\), a ses deux dérivées partielles nulles en \((0,0)\) (elle s’annule sur les axes), mais \(f(t,t)=\tfrac12\not\to0\) : elle n’est pas continue en \((0,0)\).
3. Vrai : c’est le théorème du cours.

6 Dérivée dans une direction ★★★

\(f\) est \(C^1\), \(\nabla f=(2xy,\ x^2)\) donc \(\nabla f(a)=(4,1)\). Alors \(D_vf(a)=4\times\tfrac35+1\times\tfrac45=\tfrac{16}{5}=3{,}2\).

7 Une composée avec une courbe ★★★

\(\gamma'(t)=(e^t,2t)\) et \(\nabla f=(y,x)\). Donc \((f\circ\gamma)'(t)=t^2e^t+e^t\cdot2t=(t^2+2t)e^t\).

Directement : \(f(\gamma(t))=t^2e^t\), de dérivée \(2te^t+t^2e^t\). Même résultat.

8 Hessienne à un point ★★★

\(\partial_xf=2xy^3\), \(\partial_yf=3x^2y^2\). Puis \(\partial_x^2f=2y^3\), \(\partial_y\partial_xf=6xy^2\), \(\partial_x\partial_yf=6xy^2\), \(\partial_y^2f=6x^2y\). Les dérivées croisées sont égales, comme prévu pour une fonction \(C^2\).

En \((1,-1)\) : \(H_f(1,-1)=\begin{pmatrix}-2&6\\6&-6\end{pmatrix}\).

9 Coordonnées polaires ★★★

Directement : \(g=r^3\cos\theta\sin^2\theta\), donc \(\partial_\theta g=r^3(-\sin^3\theta+2\cos^2\theta\sin\theta)\).

Par la chaîne : \(\partial_\theta g=-r\sin\theta\,y^2+r\cos\theta\cdot2xy=-r^3\sin^3\theta+2r^3\cos^2\theta\sin\theta\). Les deux expressions coïncident.

En \(r=2,\ \theta=\tfrac\pi4\) : \(8\left(-\tfrac{\sqrt2}{4}+2\cdot\tfrac12\cdot\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=8\cdot\tfrac{\sqrt2}{4}=2\sqrt2\).

10 Un minimum local ★★★

\(\nabla f=(2x+y-3,\ x+2y)\). Le système \(2x+y=3,\ x+2y=0\) donne \(x=2,\ y=-1\) : un seul point critique.

\(H_f=\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\) : \(rt-s^2=3>0\) et \(r=2>0\), donc minimum local en \((2,-1)\), de valeur \(4-2+1-6=-3\).

11 Un point selle ★★★

\(\nabla f=(2x+2,\ -8y)\) s’annule uniquement en \((-1,0)\). \(H_f=\mathrm{diag}(2,-8)\) a des valeurs propres de signes opposés : point selle.

Directement : \(f(-1+t,0)=-1+t^2>-1\) et \(f(-1,s)=-1-4s^2<-1\) : \(f(-1,0)=-1\) n’est ni minimum ni maximum local.

12 Fonction harmonique ★★★

\(\partial_xu=\dfrac{2x}{x^2+y^2}\), donc \(\partial_x^2u=\dfrac{2(x^2+y^2)-4x^2}{(x^2+y^2)^2}=\dfrac{2(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2}\). Par symétrie des rôles, \(\partial_y^2u=\dfrac{2(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2}\).

La somme est nulle : \(u\) est harmonique.

13 Une EDP linéaire ★★★

1. Par la chaîne, \(\partial_xu=3\varphi'(3x+2y)\) et \(\partial_yu=2\varphi'(3x+2y)\). Donc \(2\cdot3\varphi'-3\cdot2\varphi'=0\).
2. \(u(x,0)=\varphi(3x)=x^2\) donne \(\varphi(s)=\tfrac{s^2}{9}\), donc \(u(x,y)=\dfrac{(3x+2y)^2}{9}\).

14 Optimiser un produit ★★★

Lagrange : \(\nabla f=(y,x)=\lambda(1,1)\), donc \(x=y\) et \(x+y=10\) donne \(x=y=5\), \(f=25\).

Substitution : \(f(x,10-x)=10x-x^2=25-(x-5)^2\le25\), avec égalité en \(x=5\). Le maximum est \(25\).

15 Un point critique dégénéré ★★★

\(\partial_xf=4x^3-4(x-y)\), \(\partial_yf=4y^3+4(x-y)\). En ajoutant : \(x^3+y^3=0\), donc \(y=-x\). Alors \(x^3=x-y=2x\), d’où \(x=0\) ou \(x=\pm\sqrt2\). Points critiques : \((0,0)\), \((\sqrt2,-\sqrt2)\), \((-\sqrt2,\sqrt2)\).

\(H_f=\begin{pmatrix}12x^2-4&4\\4&12y^2-4\end{pmatrix}\). En \((\pm\sqrt2,\mp\sqrt2)\) : \(\begin{pmatrix}20&4\\4&20\end{pmatrix}\), \(rt-s^2=384>0\) et \(r>0\) : minima locaux, valeur \(4+4-2\cdot8=-8\).

En \((0,0)\) : \(\begin{pmatrix}-4&4\\4&-4\end{pmatrix}\) de déterminant nul, on ne conclut pas. Mais \(f(t,t)=2t^4>0\) et \(f(t,-t)=2t^4-8t^2<0\) pour \(t\ne0\) petit : pas d’extremum en \((0,0)\).

16 Extrema liés sur une ellipse ★★★

\(g=x^2+4y^2-8\), \(\nabla g=(2x,8y)\neq0\) sur l’ellipse. Le système \(y=2\lambda x,\ x=8\lambda y\) donne \(y=16\lambda^2y\) ; \(y=0\) est impossible (alors \(x=0\)), donc \(\lambda=\pm\tfrac14\) et \(y=\pm\tfrac x2\).

Avec \(y=\tfrac x2\) : \(2x^2=8\), \(x=\pm2\) : points \((2,1)\) et \((-2,-1)\), \(f=2\). Avec \(y=-\tfrac x2\) : points \((2,-1)\), \((-2,1)\), \(f=-2\).

L’ellipse est compacte : le maximum est \(2\), le minimum \(-2\).

17 Boîte de volume maximal ★★★

On maximise \(V=xyz\) sous \(g=xy+2xz+2yz-48=0\). \(\nabla V=(yz,xz,xy)=\lambda(y+2z,\ x+2z,\ 2x+2y)\).

Les deux premières équations donnent \(z(y-x)=\lambda(y-x)\). Si \(\lambda=z\), alors \(yz=z(y+2z)\) imposerait \(z=0\) : exclu. Donc \(x=y\). La troisième équation donne \(x^2=4\lambda x\), soit \(\lambda=\tfrac x4\), puis \(xz=\tfrac x4(x+2z)\) donne \(z=\tfrac x2\).

La contrainte devient \(3x^2=48\), \(x=y=4\), \(z=2\). Le volume vaut \(32\) dm³ ; on admet que le maximum existe (le volume tend vers \(0\) au bord du domaine), donc c’est lui.

18 Hessienne et dérivée seconde le long d’une droite ★★★

Par la chaîne, \(g'(t)=\sum_i\partial_if(a+th)h_i\). En dérivant encore : \(g''(t)=\sum_{i,j}\partial_j\partial_if(a+th)h_ih_j\), donc \(g''(0)=h^TH_f(a)h\).

Ici \(H_f=\begin{pmatrix}6x&-2y\\-2y&-2x\end{pmatrix}\), \(H_f(1,1)=\begin{pmatrix}6&-2\\-2&-2\end{pmatrix}\). Alors \(H_fh=(10,2)\) et \(h^TH_fh=10-4=6\).

Vérification : \(g(t)=(1+t)^3-(1+t)(1-2t)^2=6t+3t^2-3t^3\), donc \(g''(0)=6\).

19 Équation des ondes ★★★

1. \(u_t=-2v_p+2v_q\), \(u_{tt}=4v_{pp}-8v_{pq}+4v_{qq}\). \(u_x=v_p+v_q\), \(u_{xx}=v_{pp}+2v_{pq}+v_{qq}\) (Schwarz). Donc \(u_{tt}-4u_{xx}=-16v_{pq}\).
2. L’équation équivaut à \(v_{pq}=0\) : \(\partial_p v\) ne dépend que de \(p\), donc \(v(p,q)=F(p)+G(q)\) et \(u(x,t)=F(x-2t)+G(x+2t)\).
3. \(u_{tt}=-4\sin x\cos2t\) et \(u_{xx}=-\sin x\cos2t\), donc \(u_{tt}=4u_{xx}\). Et \(\sin x\cos 2t=\tfrac12\sin(x-2t)+\tfrac12\sin(x+2t)\).

20 Différentiabilité en défaut ★★★

Continuité : \(|f(x,y)|\le\dfrac{|x|(x^2+y^2)}{x^2+y^2}=|x|\to0\).

Dérivées partielles : \(f(t,0)=t\) donc \(\partial_xf(0,0)=1\) ; \(f(0,t)=0\) donc \(\partial_yf(0,0)=0\).

Si \(f\) était différentiable, on aurait \(D_vf(0,0)=\langle(1,0),v\rangle\) pour tout \(v\). Pour \(v=(1,1)\) : on trouverait \(1\). Or \(f(t,t)=\tfrac t2\), donc \(D_vf(0,0)=\tfrac12\neq1\). Contradiction : \(f\) n’est pas différentiable en \((0,0)\).