Topologie des espaces métriques : corrigé du contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Distances et normes / 3 pts

1. Sur \(\mathbb{R}\) non : \(d(-1,1)=0\) avec \(-1\neq1\) (1 pt). Sur \([0,+\infty[\), \(t\mapsto t^2\) est injective, donc la séparation tient ; symétrie et inégalité triangulaire viennent de la valeur absolue : c’est une distance (1 pt).

2. \(\|x\|_1=5\), \(\|x\|_2=\sqrt{4+1+4}=3\), \(\|x\|_\infty=2\) (1 pt).

2 Ouverts, fermés, adhérence / 3 pts

\(\mathring{A}=]-1,2[\) (1 pt). \(\overline{A}=[-1,2]\cup\{4\}\) (1 pt). \(\partial A=\{-1,2,4\}\) ; \(A\) n’est pas ouvert (\(2\) n’est pas intérieur) et pas fermé (\(-1\in\overline A\setminus A\)) (1 pt).

3 Suites / 3 pts

La limite est \(L=(0,1)\) (1 pt). On a \(\|u_n-L\|_\infty=\max\left(\tfrac1n,\tfrac1{n+1}\right)=\tfrac1n\) (1 pt). \(\tfrac1n\lt0{,}05\iff n\gt20\) : \(N=21\) convient (1 pt).

4 Continuité et compacité / 4 pts

1. \([0,3]\) est fermé borné de \(\mathbb{R}\), donc compact, et \(f\) est continue : elle atteint ses bornes (2 pts).

2. \(f'(x)=(1-x)e^{-x}\) : \(f\) croît sur \([0,1]\) et décroît sur \([1,3]\). Maximum \(f(1)=e^{-1}\approx0{,}368\) (1 pt). Minimum : \(f(0)=0\) et \(f(3)=3e^{-3}\approx0{,}149\), donc le minimum vaut \(0\) en \(x=0\) (1 pt).

5 Connexité / 3 pts

\(g\) est continue, \(g(0)=-1\lt0\), \(g(1)=1\gt0\) : le théorème des valeurs intermédiaires (conservation de la connexité) donne une racine (1 pt). \(g'(x)=3x^2+1\gt0\) : \(g\) strictement croissante, donc la racine est unique (1 pt). \(g(0{,}68)\approx-0{,}0056\lt0\) et \(g(0{,}69)\approx0{,}0185\gt0\) : la racine est dans \([0{,}68;0{,}69]\) (1 pt).

6 Point fixe / 4 pts

1. \(|f(x)-f(y)|=\tfrac14|x-y|\) : contraction de rapport \(\tfrac14\) sur \(\mathbb{R}\) complet (1 pt). \(\ell=\tfrac12+\tfrac\ell4\iff\ell=\tfrac23\) (1 pt).

2. \(u_1=\tfrac12\), \(u_2=\tfrac58\), \(u_3=\tfrac{21}{32}\) (1 pt). \(|u_3-\ell|=\tfrac23-\tfrac{21}{32}=\tfrac1{96}\), égal à \(\left(\tfrac14\right)^3\cdot\tfrac23\) (1 pt).