20 exercices classés par difficulté (★ facile, ★★ moyen, ★★★ difficile). Cherche d’abord sans regarder le corrigé !
1 Passer à l’ordre 1 ★★★
Mets l’équation \(y’’ + 5y’ + 6y = 0\) sous la forme d’un système \(Y’ = AY\), puis donne les valeurs propres de \(A\).
2 Lipschitz ou pas ? ★★★
Pour chaque fonction, dis si elle est localement lipschitzienne en \(y\) (justifie brièvement) : (a) \(f(y) = |y|\) ; (b) \(f(y) = y^3\) ; (c) \(f(y) = \sqrt{|y|}\) ; (d) \(f(y) = \sin y\).
3 Exponentielle d’une diagonale ★★★
Soit \(A = \operatorname{diag}(2, -1, 0)\). Calcule \(e^{tA}\) puis \(\det(e^{A})\).
4 Une matrice nilpotente ★★★
Soit \(N = \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\). Calcule \(e^{tN}\) et résous \(Y’ = NY\) avec \(Y(0) = (2, 1)\).
5 Une équation à variable séparable ★★★
Résous \(y’ = ty\) avec \(y(0) = 3\), puis calcule \(y(2)\). La solution est-elle globale ?
6 Équilibres d’une équation logistique ★★★
Soit \(x’ = \dfrac{1}{2}\,x\,(4 - x)\). Détermine les équilibres et leur stabilité.
7 Une explosion ★★★
Résous \(y’ = y^2\) avec \(y(0) = 2\) et donne l’intervalle de définition de la solution maximale.
8 Estimation par Gronwall ★★★
Soit \(u : [0, 2] \to \mathbb{R}_+\) continue telle que \(u(t) \leq 0{,}2 + 3\int_0^t u(s)\,ds\). Majore \(u(2)\) ; que devient la borne si \(0{,}2\) est remplacé par \(0\) ?
9 Un système symétrique ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\). Calcule \(e^{tA}\) et résous \(Y’ = AY\) avec \(Y(0) = (2, 0)\).
10 Une rotation ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\). Montre que \(e^{tA} = \begin{pmatrix} \cos 2t & -\sin 2t \\ \sin 2t & \cos 2t \end{pmatrix}\), puis résous \(Y’ = AY\), \(Y(0) = (1, 1)\). Que vaut \(\|Y(t)\|\) ?
11 Un bloc de Jordan ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\). Calcule \(e^{tA}\), résous \(Y’ = AY\) avec \(Y(0) = (0, 1)\) et calcule \(Y(1)\). L’origine est-elle stable ?
12 Formule de Duhamel ★★★
Résous \(y’ = -2y + 6e^{t}\) avec \(y(0) = 1\) à l’aide de la formule de Duhamel.
13 Classer trois matrices ★★★
Calcule la trace, le déterminant et la nature de l’origine pour \(Y’ = AY\) : (a) \(A = \begin{pmatrix} -3 & 1 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) ; (b) \(A = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}\) ; (c) \(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\).
14 Non-unicité ★★★
On considère \(y’ = 2\sqrt{|y|}\) avec \(y(0) = 0\). (a) Montre que \(z_0 = 0\) et \(z_1(t) = t^2\) si \(t \geq 0\), \(0\) sinon, sont solutions. (b) Pour \(c \geq 0\), \(y_c(t) = (t - c)^2\) si \(t \geq c\), \(0\) sinon, est-elle solution ? Calcule \(y_c(3)\) pour \(c = 1\). (c) Pourquoi cela ne contredit-il pas Cauchy-Lipschitz ?
15 Solutions maximales ★★★
Détermine la solution maximale de (a) \(y’ = 1 + y^2\), \(y(0) = 0\) ; (b) \(y’ = t\,y^2\), \(y(0) = 1\), avec son intervalle de définition. Que se passe-t-il aux bornes ?
16 Dépendance continue ★★★
Soit \(f(t, y) = \sin y + t\), \(y_1\) et \(y_2\) deux solutions avec \(y_1(0) = 0\) et \(y_2(0) = 0{,}05\). (a) Montre que \(|y_1(t) - y_2(t)| \leq 0{,}05\,e^{t}\) pour \(t \geq 0\). (b) Pour quelles valeurs de \(t\) la borne garantit-elle un écart au plus égal à \(0{,}5\) ?
17 Démonstration de Gronwall ★★★
Redémontre le lemme de Gronwall : si \(u\) est continue, positive sur \([0, T]\) et \(u(t) \leq a + L\int_0^t u\) avec \(L \geq 0\), alors \(u(t) \leq a\,e^{Lt}\). Quelle fonction auxiliaire introduis-tu ?
18 Exponentielle d’un bloc de Jordan 3×3 ★★★
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}\). Écris \(A = 2I + N\), calcule \(N^2\), \(N^3\), puis \(e^{tA}\) et la solution de \(Y’ = AY\) avec \(Y(0) = (1, 2, 3)\).
19 Un système de compétition ★★★
Deux espèces en compétition évoluent selon \(x’ = x(2 - x - y)\), \(y’ = y(3 - 2x - y)\) pour \(x, y \geq 0\). (a) Détermine les quatre équilibres \(O, P, Q, R\). (b) Calcule la matrice jacobienne et classe chaque équilibre. (c) Que se passe-t-il généralement à long terme ?
20 Fonction de Lyapunov ★★★
Soit le système \(x’ = -y - x^3\), \(y’ = x - y^3\). (a) Que dit la linéarisation en \((0, 0)\) ? (b) Avec \(V(x, y) = x^2 + y^2\), calcule \(\dfrac{d}{dt}V\) le long des solutions et conclus.
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