Calcul différentiel dans Rn : contrôle de maths Licence L3 à télécharger en PDF

1 Différentielle et approximation / 4 pts

Soit \(f(x,y) = (x e^y,\ x^2 + y)\).

1. Écris la jacobienne de \(f\) et calcule-la en \((2,0)\).
2. À l’aide de la différentielle, donne une valeur approchée de \(f(2{,}1;\ -0{,}1)\).

2 Extrema libres / 4 pts

Soit \(f(x,y) = 2x^3 - 6xy + 3y^2\). Trouve les points critiques de \(f\) et précise leur nature.

3 Inversion locale / 3 pts

Soit \(f(x,y) = (x + y + x^2,\ x - y + y^2)\). Montre que \(f\) est localement inversible au voisinage de \((1,1)\) et calcule la jacobienne de l’inverse local au point \(f(1,1)\).

4 Fonction implicite / 4 pts

Soit \(F(x,y) = x^2 + xy + y^3 - 3\), qui s’annule en \((1,1)\).

1. Montre que \(F(x,y) = 0\) définit \(y = \varphi(x)\) près de \(x = 1\).
2. Calcule \(\varphi’(1)\) et l’équation de la tangente au point \((1,1)\).
3. En déduis une valeur approchée de \(\varphi(1{,}04)\).

5 Extrema liés / 5 pts

Détermine les extrema de \(f(x,y) = xy\) sur l’ellipse \(\mathcal{E} : x^2 + 4y^2 = 8\).