Toute l’analyse repose sur une propriété qui distingue \(\mathbb{R}\) de \(\mathbb{Q}\) : l’existence de bornes supérieures. Ce chapitre construit, à partir d’elle, les outils qui permettent de prouver qu’une suite converge sans connaître sa limite : monotonie, suites adjacentes, théorème de Bolzano-Weierstrass, suites de Cauchy. Chaque résultat est démontré ou esquissé, puis employé sur des exemples calculés.
1. Ordre et valeur absolue
L’ensemble \(\mathbb{R}\) est un corps totalement ordonné : on peut additionner, multiplier, diviser par un réel non nul, et comparer deux réels quelconques. La valeur absolue de \(x\) est \(|x| = x\) si \(x \ge 0\) et \(|x| = -x\) sinon. Elle mesure une distance : \(|x-y|\) est la distance entre \(x\) et \(y\) sur la droite réelle.
- \(|xy| = |x|\,|y|\) et \(|x| \le r \iff -r \le x \le r\) ;
- inégalité triangulaire : \(|x+y| \le |x| + |y|\) ;
- seconde forme : \(\big|\,|x| - |y|\,\big| \le |x-y|\).
Résolvons \(|3x+1| \lt 7\). On a \(-7 \lt 3x+1 \lt 7\), donc \(-8 \lt 3x \lt 6\) et \(-\dfrac{8}{3} \lt x \lt 2\). L’ensemble des solutions est l’intervalle \(\left]-\dfrac{8}{3}\,;\,2\right[\).
2. Borne supérieure
Soit \(A\) une partie de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(A\) si \(a \le M\) pour tout \(a \in A\). Si de plus \(M \in A\), c’est le maximum de \(A\). La borne supérieure \(\sup A\) est, quand elle existe, le plus petit des majorants. On définit de même minorant, minimum et borne inférieure \(\inf A\).
Toute partie de \(\mathbb{R}\) non vide et majorée admet une borne supérieure. Toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.
Un réel \(M\) est la borne supérieure de \(A\) si et seulement si \(M\) majore \(A\) et si, pour tout \(\varepsilon \gt 0\), il existe \(a \in A\) tel que \(M - \varepsilon \lt a\).
Soit \(A = \left\{2 - \dfrac{1}{n}\;;\; n \in \mathbb{N}^*\right\}\). Le réel 2 majore \(A\) car \(\dfrac{1}{n} \gt 0\). Soit \(\varepsilon \gt 0\) : en prenant un entier \(n \gt \dfrac{1}{\varepsilon}\), on a \(2 - \dfrac{1}{n} \gt 2 - \varepsilon\). Donc \(\sup A = 2\). Ce n’est pas un maximum, puisque \(2 - \dfrac{1}{n} \lt 2\) pour tout \(n\). En revanche \(\min A = 1\), atteint pour \(n = 1\).
La borne supérieure n’appartient pas toujours à l’ensemble. Et l’axiome est faux dans \(\mathbb{Q}\) : la partie \(\{x \in \mathbb{Q} : x^2 \lt 2\}\) est majorée dans \(\mathbb{Q}\) mais n’a pas de plus petit majorant rationnel, car ce plus petit majorant serait \(\sqrt{2}\).
3. Densité de \(\mathbb{Q}\) dans \(\mathbb{R}\)
Une conséquence directe de l’axiome est la propriété d’Archimède : pour tout réel \(x\), il existe un entier naturel \(n \gt x\). Elle permet de définir la partie entière \(\lfloor x \rfloor\), unique entier \(k\) vérifiant \(k \le x \lt k+1\). Par exemple \(\lfloor -1{,}5 \rfloor = -2\).
Entre deux réels \(a \lt b\) il existe toujours un rationnel, et aussi un irrationnel.
Démonstration. Choisissons un entier \(n \gt \dfrac{1}{b-a}\), de sorte que \(nb - na \gt 1\). Posons \(k = \lfloor na \rfloor + 1\). Alors \(na \lt k \le na + 1 \lt nb\), donc \(a \lt \dfrac{k}{n} \lt b\). Pour l’irrationnel, on applique ce résultat à \(\dfrac{a}{\sqrt{2}}\) et \(\dfrac{b}{\sqrt{2}}\) pour trouver un rationnel \(r\) entre eux, non nul (si l’intervalle contient 0, on en prend un autre, il y en a une infinité) :\(r\sqrt{2}\) est irrationnel et se trouve entre \(a\) et \(b\).
Cherchons un rationnel entre \(\dfrac{5}{7}\) et \(\dfrac{3}{4}\). On a \(b - a = \dfrac{1}{28}\), donc on prend \(n = 29 \gt 28\). Comme \(29 \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{145}{7} \approx 20{,}71\), on pose \(k = 21\). Le rationnel \(\dfrac{21}{29}\) convient : \(\dfrac{5}{7} \lt \dfrac{21}{29} \lt \dfrac{3}{4}\) car \(147 \gt 145\) et \(84 \lt 87\).
4. Limite d’une suite
Une suite réelle \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si
\[ \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists N \in \mathbb{N},\ \forall n \ge N,\ |u_n - \ell| \lt \varepsilon. \]
Le rang \(N\) dépend de \(\varepsilon\) : plus \(\varepsilon\) est petit, plus \(N\) est grand en général.
Géométriquement, à partir du rang \(N\), tous les points \((n\,;u_n)\) sont dans la bande de hauteur \(2\varepsilon\) centrée sur \(\ell\).
- La limite, si elle existe, est unique.
- Toute suite convergente est bornée.
- Les limites passent aux sommes, produits et quotients (dénominateur de limite non nulle).
- Si \(u_n \le v_n\) à partir d’un certain rang et si \(u_n \to \ell\), \(v_n \to \ell'\), alors \(\ell \le \ell'\).
- Théorème d’encadrement : si \(u_n \le w_n \le v_n\) et si \(u_n\) et \(v_n\) tendent vers la même limite \(\ell\), alors \(w_n \to \ell\).
Montrons que \(u_n = \dfrac{4n+3}{n+1}\) converge vers 4. On a \(|u_n - 4| = \dfrac{1}{n+1}\). Soit \(\varepsilon \gt 0\) : la condition \(\dfrac{1}{n+1} \lt \varepsilon\) équivaut à \(n \gt \dfrac{1}{\varepsilon} - 1\). Il suffit donc de prendre \(N\) entier supérieur à \(\dfrac{1}{\varepsilon}\) ; pour \(\varepsilon = 0{,}01\), \(N = 101\) convient.
- Calculer et simplifier \(|u_n - \ell|\).
- Majorer cette quantité par une expression simple qui tend vers 0 (par exemple \(\dfrac{c}{n}\)).
- Résoudre l’inégalité obtenue pour exhiber un rang \(N\) qui ne dépend que de \(\varepsilon\).
5. Suites monotones
Toute suite croissante et majorée converge, vers \(\sup\{u_n\;;\;n \in \mathbb{N}\}\). Toute suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\). Énoncé symétrique pour les suites décroissantes (minorées : convergence vers l’inf).
Démonstration. Soit \(\ell = \sup\{u_n\}\), qui existe par l’axiome. Pour \(\varepsilon \gt 0\), il existe un rang \(N\) tel que \(u_N \gt \ell - \varepsilon\). Pour \(n \ge N\), la croissance donne \(\ell - \varepsilon \lt u_N \le u_n \le \ell\), donc \(|u_n - \ell| \lt \varepsilon\).
Soit \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}\). La suite est croissante, car \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} \gt 0\). Pour \(k \ge 2\), \(\dfrac{1}{k^2} \le \dfrac{1}{k(k-1)} = \dfrac{1}{k-1} - \dfrac{1}{k}\). La somme télescope : \(u_n \le 1 + \left(1 - \dfrac{1}{n}\right) \lt 2\). Majorée et croissante, \((u_n)\) converge.
6. Suites adjacentes
Deux suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes si \((u_n)\) est croissante, \((v_n)\) est décroissante et \(v_n - u_n \to 0\).
Deux suites adjacentes convergent vers la même limite \(\ell\), et \(u_n \le \ell \le v_n\) pour tout \(n\).
Démonstration. La suite \((v_n - u_n)\) est décroissante de limite nulle, donc positive. Ainsi \(u_n \le v_n \le v_0\) : \((u_n)\) est croissante majorée et converge. De même \((v_n)\) est décroissante minorée par \(u_0\) et converge. La différence tend vers 0, donc les deux limites sont égales.
Posons \(u_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k^2}\) et \(v_n = u_n + \dfrac{1}{n}\). On sait que \((u_n)\) croît. De plus
\[ v_{n+1} - v_n = \dfrac{1}{(n+1)^2} + \dfrac{1}{n+1} - \dfrac{1}{n} = -\dfrac{1}{n(n+1)^2} \lt 0, \]
et \(v_n - u_n = \dfrac{1}{n} \to 0\). Les suites sont adjacentes. Pour \(n = 10\), on obtient \(1{,}549 \lt \ell \lt 1{,}650\).
7. Théorème de Bolzano-Weierstrass
Une sous-suite (ou suite extraite) de \((u_n)\) est une suite \((u_{\varphi(n)})\) où \(\varphi : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) est strictement croissante. Si \(u_n \to \ell\), toute sous-suite tend aussi vers \(\ell\). Par contraposée, deux sous-suites de limites différentes prouvent qu’une suite diverge.
De toute suite réelle bornée on peut extraire une sous-suite convergente.
Idée de la démonstration (dichotomie). Tous les termes sont dans un segment \([a_0, b_0]\). On le coupe en deux moitiés : l’une contient une infinité de termes ; on la garde et on la nomme \([a_1, b_1]\). En répétant, on obtient des segments emboîtés de longueur \(\dfrac{b_0 - a_0}{2^n}\). Les suites \((a_n)\) et \((b_n)\) sont adjacentes, de limite commune \(\ell\). On choisit des rangs \(\varphi(0) \lt \varphi(1) \lt \dots\) avec \(u_{\varphi(n)} \in [a_n, b_n]\), puis l’encadrement donne \(u_{\varphi(n)} \to \ell\).
Soit \(u_n = (-1)^n \dfrac{n}{n+1}\). Elle est bornée par 1. Les termes pairs \(u_{2p} = \dfrac{2p}{2p+1}\) tendent vers 1, les termes impairs \(u_{2p+1} = -\dfrac{2p+1}{2p+2}\) tendent vers \(-1\). Deux sous-suites aux limites distinctes : \((u_n)\) diverge, bien que Bolzano-Weierstrass s’applique.
8. Suites de Cauchy
Une suite \((u_n)\) est de Cauchy si
\[ \forall \varepsilon \gt 0,\ \exists N,\ \forall p, q \ge N,\ |u_p - u_q| \lt \varepsilon. \]
Les termes finissent par être tous proches les uns des autres, sans qu’on nomme de limite.
Dans \(\mathbb{R}\), une suite converge si et seulement si elle est de Cauchy.
Démonstration. Si \(u_n \to \ell\), on prend \(N\) tel que \(|u_n - \ell| \lt \dfrac{\varepsilon}{2}\) pour \(n \ge N\), puis \(|u_p - u_q| \le |u_p - \ell| + |\ell - u_q| \lt \varepsilon\). Réciproquement, une suite de Cauchy est bornée (prendre \(\varepsilon = 1\)) ; par Bolzano-Weierstrass une sous-suite converge vers \(\ell\), et la condition de Cauchy force toute la suite à tendre vers \(\ell\).
Soit \(H_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}\). Alors \(H_{2n} - H_n = \sum_{k=n+1}^{2n} \dfrac{1}{k} \ge n \times \dfrac{1}{2n} = \dfrac{1}{2}\). La condition de Cauchy échoue pour \(\varepsilon = \dfrac{1}{2}\) : \((H_n)\) diverge, alors que ses termes successifs s’écartent de moins en moins.
Il ne suffit pas que \(u_{n+1} - u_n \to 0\) : c’est le cas de \((H_n)\), pourtant divergente. La condition de Cauchy porte sur tous les couples \((p, q)\).
9. Suites récurrentes \(u_{n+1} = f(u_n)\)
- Trouver un intervalle \(I\) contenant \(u_0\) et stable : \(f(I) \subset I\). On montre alors par récurrence que \(u_n \in I\).
- Si \(f\) est croissante sur \(I\), la suite est monotone : croissante si \(u_1 \ge u_0\), décroissante sinon. Si \(f\) est décroissante, ce sont les sous-suites \((u_{2n})\) et \((u_{2n+1})\) qui sont monotones, de sens contraires.
- Une suite monotone bornée converge. Si \(f\) est continue, la limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\) (point fixe) ; on retient celui qui est dans \(I\) et compatible avec le sens de variation.
Si \(u_n \to \ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(u_{n+1} = f(u_n)\) tend à la fois vers \(\ell\) et vers \(f(\ell)\) : par unicité de la limite, \(\ell = f(\ell)\). Ce n’est qu’une condition nécessaire : il faut d’abord prouver la convergence.
Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \sqrt{3u_n + 4}\). L’intervalle \([0\,;4]\) est stable car \(f(x) = \sqrt{3x+4}\) est croissante et \(f(4) = 4\). Sur \([0\,;4]\), \(u_{n+1} \ge u_n\) équivaut à \(3u_n + 4 \ge u_n^2\), soit \((4 - u_n)(u_n + 1) \ge 0\), ce qui est vrai. La suite est croissante et majorée : elle converge vers \(\ell\) tel que \(\ell^2 - 3\ell - 4 = 0\), donc \(\ell = 4\) (l’autre racine, \(-1\), est négative). Numériquement, \(u_1 \approx 2{,}646\), \(u_2 \approx 3{,}455\), \(u_3 \approx 3{,}790\).
Sur la Terre, mes amis dessinent la droite \(y = x\) pour lire les suites récurrentes : chaque marche de l’escalier est un terme de plus. Le point fixe se voit là où la courbe croise la droite.
À retenir
- Toute partie non vide majorée de \(\mathbb{R}\) a une borne supérieure ; \(M = \sup A\) si \(M\) majore \(A\) et si \(M - \varepsilon\) ne majore plus.
- \(\mathbb{Q}\) est dense dans \(\mathbb{R}\), ainsi que les irrationnels.
- \(u_n \to \ell\) signifie : \(\forall \varepsilon \gt 0,\ \exists N,\ \forall n \ge N,\ |u_n - \ell| \lt \varepsilon\).
- Une suite monotone et bornée converge ; deux suites adjacentes ont la même limite et l’encadrent.
- Toute suite bornée a une sous-suite convergente ; deux sous-suites aux limites distinctes prouvent la divergence.
- Dans \(\mathbb{R}\), converger équivaut à être de Cauchy.
- Pour \(u_{n+1} = f(u_n)\) : intervalle stable, monotonie, puis point fixe \(f(\ell) = \ell\).
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