Déterminants : exercices corrigés de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Quatre déterminants d’ordre 2 ★★★

On applique \(ad - bc\).

1. \(3 \times 4 - 5 \times 2 = 12 - 10 = 2\).
2. \((-1)(-3) - 4 \times 2 = 3 - 8 = -5\).
3. \(6 \times (-3) - (-2) \times 9 = -18 + 18 = 0\). Les deux colonnes sont proportionnelles.
4. \(0 \times 5 - 7 \times (-2) = 14\).

2 Règle de Sarrus ★★★

Premier déterminant : produits positifs \(1 \times 1 \times 1 = 1\), \(2 \times 4 \times 2 = 16\), \(0\) ; produits négatifs \(0\), \(2 \times 3 \times 1 = 6\), \(1 \times 4 \times 0 = 0\). Résultat : \(17 - 6 = 11\).

Second déterminant : produits positifs \(2 \times 3 \times 4 = 24\), \(0\), \(1 \times 1 \times 1 = 1\) ; produits négatifs \(1 \times 3 \times 0 = 0\), \(0\), \(0\). Résultat : \(25\).

3 Vrai ou faux avec det A = 5 ★★★

1. Faux : \(\det(3A) = 3^3 \det A = 27 \times 5 = 135\).
2. Vrai : une matrice et sa transposée ont le même déterminant.
3. Faux : \(\det(-A) = (-1)^3 \det A = -5\).
4. Vrai : \(\det(A^2) = (\det A)^2 = 25\).

4 Quand une matrice 2×2 est-elle inversible ? ★★★

Son déterminant vaut \(m(m+1) - 6 = m^2 + m - 6 = (m+3)(m-2)\).

La matrice est non inversible si et seulement si ce déterminant est nul, c’est-à-dire pour \(m = -3\) ou \(m = 2\). Pour tout autre réel, elle est inversible.

5 Matrices triangulaires ★★★

Ces deux matrices sont triangulaires : leur déterminant est le produit des coefficients diagonaux.

Premier : \(2 \times (-3) \times 7 = -42\). Second : \(3 \times 2 \times (-1) \times 2 = -12\).

6 Aire d’un parallélogramme ★★★

On calcule \(\det(u,v) = \begin{vmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 12 - 2 = 10\).

L’aire du parallélogramme est \(|10| = 10\) unités d’aire ; celle du triangle en est la moitié, soit \(5\) unités d’aire.

7 Effet des opérations sur les lignes ★★★

\(\det A = 4 - 6 = -2\).

1. \(\begin{vmatrix} 3 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 4 = 2\) : le signe change.
2. \(\begin{vmatrix} 3 & 6 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 12 - 18 = -6 = 3 \times (-2)\) : le déterminant est multiplié par 3.
3. \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -2 \end{vmatrix} = -2\) : inchangé.

8 Développement d’un déterminant d’ordre 4 ★★★

La colonne 3 contient \((0,4,1,0)\). Le terme de la ligne 2 a pour signe \((-1)^{2+3} = -1\), celui de la ligne 3 le signe \(+1\).

Mineur \(M_{23} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 1(0-3) - 2(4-0) + 3(6-0) = 7\). Mineur \(M_{33} = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 2 \end{vmatrix} = 2\).

Donc \(\det = -4 \times 7 + 1 \times 2 = -26\).

9 Méthode du pivot ★★★

On factorise \(2\) dans la première ligne : le déterminant vaut \(2 \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 5 & 10 \end{vmatrix}\).

Avec \(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 - 3L_1\) : lignes \((0,1,2)\) et \((0,-1,1)\). Puis \(L_3 \leftarrow L_3 + L_2\) donne \((0,0,3)\).

Le déterminant triangulaire vaut \(1 \times 1 \times 3 = 3\), donc le déterminant demandé est \(2 \times 3 = 6\).

10 Déterminant d’un produit ★★★

\(\det A = 6 - 1 = 5\) et \(\det B = 2 - 0 = 2\).

• \(\det(AB) = 5 \times 2 = 10\).
• \(\det(A^3) = 5^3 = 125\).
• \(\det(A^{-1}) = \dfrac{1}{5}\).
• \(\det({}^t A B^{-1}) = \det A \times \dfrac{1}{\det B} = \dfrac{5}{2}\).
• \(\det(2B) = 2^2 \det B = 8\), car \(B\) est d’ordre 2.

11 Déterminant avec paramètre ★★★

On développe selon la première ligne : \(\det A(m) = m(m^2 - 1) - 1 \times (m - 0) + 0 = m^3 - 2m = m(m^2 - 2)\).

Ce déterminant s’annule pour \(m = 0\), \(m = \sqrt{2}\) et \(m = -\sqrt{2}\) : ce sont les trois valeurs pour lesquelles \(A(m)\) n’est pas inversible.

12 Inverse par la comatrice ★★★

\(\det B = 1(1-0) - 0 + 2(6-0) = 13 \neq 0\) : \(B\) est inversible.

Cofacteurs : \(C_{11} = 1\), \(C_{12} = -2\), \(C_{13} = 6\), \(C_{21} = -(0-6) = 6\), \(C_{22} = 1\), \(C_{23} = -3\), \(C_{31} = -2\), \(C_{32} = -(0-4) = 4\), \(C_{33} = 1\).

Donc \(B^{-1} = \dfrac{1}{13}\,{}^t\mathrm{com}(B) = \dfrac{1}{13}\begin{pmatrix} 1 & 6 & -2 \\ -2 & 1 & 4 \\ 6 & -3 & 1 \end{pmatrix}\).

13 Le prix du goûter ★★★

Notons \(c\) le prix d’un croissant et \(j\) celui d’un jus : \(\begin{cases} 3c + 2j = 11 \\ 5c + 4j = 19 \end{cases}\).

\(\det = 3 \times 4 - 2 \times 5 = 2 \neq 0\), donc le système est de Cramer. \(c = \dfrac{\begin{vmatrix} 11 & 2 \\ 19 & 4 \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{44 - 38}{2} = 3\) et \(j = \dfrac{\begin{vmatrix} 3 & 11 \\ 5 & 19 \end{vmatrix}}{2} = \dfrac{57 - 55}{2} = 1\).

Un croissant coûte 3 € et un jus 1 €.

14 Rang d’une matrice 3×3 ★★★

La deuxième ligne vaut deux fois la première : le déterminant d’ordre 3 est nul, donc le rang est inférieur ou égal à 2.

Le mineur formé des lignes 1 et 3, colonnes 1 et 2 vaut \(\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0\). Le rang est donc \(2\).

15 Trois points sont-ils alignés ? ★★★

Les points sont alignés si et seulement si \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 0\). Ici \(\overrightarrow{AB} = (3,6)\) et \(\overrightarrow{AC} = (m-1, 12)\).

\(\begin{vmatrix} 3 & m-1 \\ 6 & 12 \end{vmatrix} = 36 - 6(m-1) = 42 - 6m\), nul si et seulement si \(m = 7\).

16 Matrice antisymétrique d’ordre 3 ★★★

On a \(\det({}^t A) = \det A\) et \(\det(-A) = (-1)^3 \det A = -\det A\). Comme \({}^t A = -A\), on obtient \(\det A = -\det A\), donc \(\det A = 0\) : la matrice n’est pas inversible.

Vérification : en développant selon la première ligne, \(\det = 0 \cdot C_{11} + 2\, C_{12} + (-3)\, C_{13}\) avec \(C_{12} = -(-2 \times 0 - 5 \times 3) = 15\) et \(C_{13} = (-2)(-5) - 0 \times 3 = 10\). Donc \(\det = 2 \times 15 - 3 \times 10 = 0\).

17 Déterminant de Vandermonde ★★★

On fait \(L_2 \leftarrow L_2 - L_1\) et \(L_3 \leftarrow L_3 - L_1\) : les lignes deviennent \((0, b-a, b^2-a^2)\) et \((0, c-a, c^2-a^2)\). On développe selon la première colonne, puis on factorise \((b-a)\) et \((c-a)\) : \((b-a)(c-a)\begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix} = (b-a)(c-a)(c-b)\).

La matrice est inversible si et seulement si \(a\), \(b\), \(c\) sont deux à deux distincts. Pour \((1,2,4)\) : \(1 \times 3 \times 2 = 6\).

18 Déterminant circulant ★★★

Avec la formule \(aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh\) appliquée à la matrice \(\begin{pmatrix} a & b & c \\ c & a & b \\ b & c & a \end{pmatrix}\) : les produits positifs sont \(a \cdot a \cdot a = a^3\), \(b \cdot b \cdot b = b^3\) et \(c \cdot c \cdot c = c^3\). Les produits négatifs sont \(c \cdot a \cdot b\), \(b \cdot c \cdot a\) et \(a \cdot b \cdot c\) : chacun vaut \(abc\).

D’où \(a^3 + b^3 + c^3 - 3abc\). Pour \((1,2,3)\) : \(1 + 8 + 27 - 18 = 18\).

19 Équations matricielles et déterminant ★★★

1. \((\det A)^2 = \det I_3 = 1\), donc \(\det A = 1\) ou \(\det A = -1\).
2. \((\det A)^3 = \det(8I_3) = 8^3 = 512\), et la fonction cube est injective sur \(\mathbb{R}\), donc \(\det A = 8\).
3. Si \(A\) était inversible, on multiplierait \(A^2 = A\) par \(A^{-1}\) et l’on obtiendrait \(A = I_3\), ce qui est exclu. Donc \(A\) n’est pas inversible : \(\det A = 0\).

20 Système 3×3 par Cramer ★★★

\(\det A = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix} = 1(2+3) - 1(1-6) + 1(-1-4) = 5 + 5 - 5 = 5\).

\(\det A_1 = 5\), \(\det A_2 = 10\), \(\det A_3 = 15\). Donc \(x = 1\), \(y = 2\), \(z = 3\).

Vérification : \(1+2+3 = 6\), \(1+4+9 = 14\), \(2-2+3 = 3\).

21 Rang selon un paramètre ★★★

La troisième ligne est \(3L_1\), donc tous les mineurs d’ordre 3 sont nuls et le rang est au plus 2.

Considérons le mineur des lignes 1 et 2, colonnes 1 et 3 : \(\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & m \end{vmatrix} = m - 6\).

Si \(m \neq 6\), ce mineur est non nul et le rang vaut \(2\). Si \(m = 6\), toutes les lignes sont proportionnelles à \((1,2,3)\) et le rang vaut \(1\).

22 Aire d’une parcelle ★★★

On découpe selon la diagonale \([AC]\). Triangle \(ABC\) : \(\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = \begin{vmatrix} 6 & 7 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = 30 - 7 = 23\), aire \(\dfrac{23}{2} = 11{,}5\).

Triangle \(ACD\) : \(\det(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD}) = \begin{vmatrix} 7 & 0 \\ 5 & 4 \end{vmatrix} = 28\), aire \(14\).

Aire totale : \(25{,}5\) unités d’aire, soit \(25{,}5 \times 100 = 2\,550\) m².