1 Calculs de déterminants / 3 pts
Calculer : (a) \(\begin{vmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix}\) ; (b) \(\begin{vmatrix} 1 & 3 & -1 \\ 2 & 0 & 4 \\ -2 & 1 & 5 \end{vmatrix}\) ; (c) \(\begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 7 & -2 & 0 \\ 1 & 5 & 4 \end{vmatrix}\).
2 Déterminant d’ordre 4 / 4 pts
Calculer \(D = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}\) en développant selon la ligne 3.
3 Propriétés du déterminant / 3 pts
Soit \(A\) et \(B\) deux matrices carrées d’ordre 3 avec \(\det A = -2\) et \(\det B = 4\). Calculer \(\det(AB)\), \(\det({}^t A)\), \(\det(3A)\), \(\det(A^{-1})\) et \(\det(B^2 A^{-1})\).
4 Inversibilité avec paramètre / 4 pts
Soit \(A(m) = \begin{pmatrix} m & 1 & 1 \\ 1 & m & 1 \\ 1 & 1 & m \end{pmatrix}\). (a) Montrer que \(\det A(m) = (m-1)^2(m+2)\). (b) Pour quelles valeurs de \(m\) la matrice est-elle inversible ? (c) Calculer l’inverse de \(A(0)\).
5 Système de Cramer / 3 pts
Résoudre par les formules de Cramer : \(\begin{cases} x + 2y + z = 3 \\ 2x - y + z = 8 \\ x + y - 2z = -5 \end{cases}\)
6 Rang et mineurs / 3 pts
Soit \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\). Exhiber un mineur d’ordre 2 non nul, montrer que le mineur formé des colonnes 1, 2, 3 est nul, puis donner le rang de \(B\).
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