Déterminants : corrigé du contrôle de maths Licence L1 à télécharger en PDF

1 Calculs de déterminants / 3 pts

(a) \(20 - (-6) = 26\) (1 pt).

(b) Sarrus : produits positifs \(0 + (3 \times 4 \times (-2)) + (-1 \times 2 \times 1) = -24 - 2 = -26\) ; produits négatifs \(0 + 3 \times 2 \times 5 + 1 \times 4 \times 1 = 34\). Résultat \(-26 - 34 = -60\) (1 pt).

(c) Matrice triangulaire : \(3 \times (-2) \times 4 = -24\) (1 pt).

2 Déterminant d’ordre 4 / 4 pts

La ligne 3 vaut \((1,0,4,0)\). Les signes des positions \((3,1)\) et \((3,3)\) sont \(+\) (1 pt).

\(M_{31} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 5 \end{vmatrix} = -9\) (1 pt) et \(M_{33} = \begin{vmatrix} 3 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 19\) (1 pt).

\(D = 1 \times (-9) + 4 \times 19 = 67\) (1 pt).

3 Propriétés du déterminant / 3 pts

\(\det(AB) = -8\) (0,5 pt). \(\det({}^t A) = -2\) (0,5 pt). \(\det(3A) = 27 \times (-2) = -54\) (0,5 pt). \(\det(A^{-1}) = -\dfrac{1}{2}\) (0,5 pt).

\(\det(B^2 A^{-1}) = 4^2 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -8\) (1 pt).

4 Inversibilité avec paramètre / 4 pts

(a) Sarrus : \(m^3 + 1 + 1 - m - m - m = m^3 - 3m + 2 = (m-1)^2(m+2)\) (1,5 pt).

(b) \(A(m)\) est inversible si et seulement si \(m \neq 1\) et \(m \neq -2\) (1 pt).

(c) \(\det A(0) = 2\). La comatrice a pour cofacteurs \(-1\) sur la diagonale et \(1\) ailleurs, donc \(A(0)^{-1} = \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}\) (1,5 pt).

5 Système de Cramer / 3 pts

\(\det A = 1(2-1) - 2(-4-1) + 1(2+1) = 14\) (1 pt).

\(\det A_1 = 28\), \(\det A_2 = -14\), \(\det A_3 = 42\) (1 pt).

Donc \(x = 2\), \(y = -1\), \(z = 3\) (1 pt).

6 Rang et mineurs / 3 pts

Le mineur lignes 1, 2 et colonnes 1, 2 vaut \(\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0\) (1 pt).

Le mineur des colonnes 1, 2, 3 vaut \(1(1-3) - 0 + 2(2-1) = 0\) (1 pt). On a \(L_3 = L_2 - L_1\), donc tous les mineurs d’ordre 3 sont nuls.

Le rang de \(B\) est donc \(2\) (1 pt).